【中3数学】三平方の定理の要点まとめ｜辺の長さの求め方・空間図形への利用

中3数学「三平方の定理」で、直角三角形の辺の長さの求め方から、座標・円・空間図形への利用までを、図と例題で1つずつ確かめるページです。この単元は「直角三角形では a²＋b²＝c²」と「場面や立体から直角三角形を取り出す」の2つが土台です。どの見出しも「答え → 図 → 理由 → 解き方」の順に書いています。紙に書いて練習したい人は、下の無料プリントを使ってください。

三平方の定理とは？ 3つの正方形の面積と証明

📄 プリント1・2ページ

3つの正方形の面積：方眼の上の直角三角形の3辺を1辺とする正方形を P、Q、R とします。ななめの R は、まわりの大きな正方形から、合同な直角三角形4つをひいて求めます。

どちらも P＋Q＝R（面積）になっています。どんな直角三角形でも成り立つことを、面積を2通りに表して確かめます。

証明：1辺 a＋b の正方形の中に、直角をはさむ辺が a、b、斜辺が c の合同な直角三角形を4つ、図のように並べます。内側の四角形 WXYZ は4辺がどれも c です。1つの角、たとえば ∠ZWX は、180°−（直角三角形の2つの鋭角の和）＝180°−90°＝90° なので、WXYZ は1辺 c の正方形です。大きい正方形の面積を2通りに表すと (a＋b)²＝c²＋4×12ab になります。

方眼の三角形（直角をはさむ2辺が 1、2）でも、1²＋2²＝5 で、正方形 R の面積 5 と同じです。

向きが変わっても、斜辺は直角の向かい側：左の図は ∠A＝90° なので斜辺は向かい側の BC、右の図は ∠F＝90° なので斜辺は向かい側の DE です。

基本∠A＝90° の △ABC で、AB＝7cm、AC＝24cm のとき、斜辺 BC の長さを求めなさい。

直角は ∠A なので、斜辺は向かい側の BC です。BC²＝7²＋24²＝49＋576＝625、25²＝625 で、BC＞0 なので BC＝25 です。

答え：25cm

直角三角形の辺の長さの求め方：斜辺を見つける

📄 プリント3ページ

求め方の手順：① 斜辺を決める → ② 求める辺を x として a²＋b²＝c² に入れる → ③ x²＝… を解く（長さなので x＞0）→ ④ √ の中を小さい自然数にする（√72＝6√2）。

例1：斜辺を求める。2辺が 6cm、9cm のとき（長方形の対角線も同じ形）です。

例2：斜辺以外を求める。斜辺 53cm、1辺 45cm のとき、足し算でなくひき算です。

例3：2つの直角三角形。AD⊥BC で、共通な辺 AD（y cm）を先に求めます。

例4：2辺だけ分かっているとき。直角三角形の2辺が 3cm、8cm なら、残りの辺 x cm は2通りあります。

標準次の問いに答えなさい。(1) 直角をはさむ2辺が 4cm、7cm の直角三角形の斜辺　(2) 斜辺が 13cm、1辺が 5cm の直角三角形の残りの辺　(3) 直角三角形の2辺が 5cm、6cm のとき、残りの辺として考えられる長さ

x²＝4²＋7²	斜辺が x
＝16＋49	計算する
x＝√65	x²＝65、x＞0 だから

x²＋5²＝13²	斜辺は 13
x²＝169−25	移項して計算する
x²＝144	計算する
x＝12	x＞0 だから

(3) 残りの辺が斜辺なら x²＝5²＋6²＝61 で x＝√61。6cm の辺が斜辺なら x²＋5²＝6² より x²＝11 で x＝√11 です。

答え：(1) √65 cm　(2) 12cm　(3) √61 cm と √11 cm

三平方の定理の逆：3辺から直角三角形かどうか調べる

📄 プリント4ページ

3辺が 3cm、4cm、5cm の三角形をかくと、直角三角形になります。3²＋4²＝25、5²＝25 で等しくなっています。この組は、角度を測らずに直角をつくる方法として、地面に直角をとるときなどに使われてきました。

三平方の定理は「直角三角形ならば a²＋b²＝c²」です。ならばの前とあとを入れかえた「逆」も正しいので、3辺の長さだけで判断できます。

判断の手順：① いちばん長い辺を c にする（√ をふくむ辺は2乗してくらべる）→ ② a²＋b² と c² を、別々に計算する → ③ 等しければ直角三角形（直角は c の向かい側の角）、ちがえば直角三角形ではない。

3つ目の組は、いちばん長い辺（3cm）が最初に書かれています。書かれた順ではなく、長さでくらべます。

どの角が直角か：△ABC の3辺が AB＝35cm、BC＝37cm、CA＝12cm のとき、いちばん長い辺は BC です。12²＋35²＝1369、37²＝1369 で等しいので、BC を斜辺とする直角三角形で、直角は BC の向かい側の頂点、∠A＝90° です。

標準(1) 9cm、12cm、15cm　(2) 4cm、5cm、7cm　(3) √2cm、√6cm、√8cm のうち、直角三角形の3辺の長さの組をすべて選びなさい。(4) △PQR の3辺が PQ＝15cm、QR＝8cm、RP＝17cm のとき、どの角が直角ですか。

(1) 9²＋12²＝81＋144＝225、15²＝225 で等しい。(2) 4²＋5²＝41、7²＝49 で等しくない。(3) (√2)²＋(√6)²＝8、(√8)²＝8 で等しい。(4) いちばん長い辺は RP で、8²＋15²＝289、17²＝289 なので、RP の向かい側の ∠Q が直角です。

答え：(1) と (3)　(4) ∠Q＝90°

身のまわりの長さ：場面から直角三角形を取り出す

📄 プリント5ページ

手順：① 場面を横から見た図にかく → ② 直角の所を見つけ、直角三角形を取り出す → ③ 分かっている長さを書きこみ、求める長さを x にする → ④ 三平方の定理で x を求め、最後に場面にもどす。

例1：はしご車。はしごを 22m のばし、建物から 14m はなれた地面に、付け根が地面から 2m の高さになるように止めます。はしごの先の、地面からの高さを求めます。

x は付け根の高さから先までの高さなので、地面からの高さは、付け根の高さ 2m を足して、(12√2＋2) m です。

例2：はしごをずらす。長さ 25m のはしごを、下のはしがかべから 7m はなれるように立てかけています。下のはしをかべから 8m 遠ざけると（点線）、上のはしは何 m 下がるでしょうか。

下がった長さは 24−20＝4（m）です。

標準長さ 13m のはしごを、下のはしがかべから 5m はなれるように立てかけています。下のはしをかべから 7m 遠ざけると、上のはしは何 m 下がりますか。

x²＋5²＝13²	ずらす前（斜辺ははしごの 13）
x²＝144	移項して計算する
x＝12	x＞0 だから（高さ 12m）

y²＋12²＝13²	ずらした後（かべから 5＋7＝12m）
y²＝25	移項して計算する
y＝5	y＞0 だから（高さ 5m）

答え：12−5＝7 より、7m 下がる

特別な直角三角形：辺の比 1：1：√2 と 1：√3：2

📄 プリント6ページ

直角二等辺三角形（45°・45°・90°）：正方形を対角線で半分にした形です。直角をはさむ辺が a、a のとき、三平方の定理で斜辺 x は a²＋a²＝x²、2a²＝x²、x＝√2a です。

30°・60°・90° の直角三角形：正三角形を、頂点から底辺への垂線で半分にした形です。1辺 2a のとき、三平方の定理で高さ h は h²＋a²＝(2a)²、h²＝3a²、h＝√3a です。

比を使って長さを求める：比例式は、外側の積＝内側の積で解きます。

例1：45° で、等しい辺から斜辺。

例2：45° で、斜辺から等しい辺。正方形の対角線から1辺も同じです。分母は有理化します。

例3：30°・60° で、斜辺から残りの2辺。

例4：30°・60° で、√3 にあたる辺から。

斜辺は 1：2 の「2」にあたるので、y＝2×2√3＝4√3 です。

標準(1) 45°・45°・90° の直角三角形で、斜辺が 10cm のとき、等しい辺の長さを求めなさい。(2) 30°・60°・90° の直角三角形で、斜辺が 18cm のとき、残りの2辺の長さを求めなさい。

1：√2＝x：10	辺の比 1：1：√2
√2x＝10	外側の積＝内側の積
x＝10√2＝5√2	分母を有理化する

(2) 1：2＝x：18 より、30° の向かいの辺は x＝9。1：√3＝9：y より、60° の向かいの辺は y＝9√3 です。

答え：(1) 5√2 cm　(2) 9cm と 9√3 cm

三角形の高さと面積：垂線で直角三角形に分ける

📄 プリント7ページ

例1：二等辺三角形の高さと面積。頂点から底辺への垂線は、底辺を2等分します（中2）。AB＝AC＝7cm、BC＝6cm のとき、HC＝3cm です。

面積は 12×6×2√10＝6√10（cm²）です。

正三角形の面積の式：1辺 a の正三角形 ABC で、頂点 A から BC に垂線 AH をひきます。△ABH は ∠B＝60°、∠AHB＝90° の直角三角形なので、3辺の比は 1：√3：2 です。

BH＝a2 だから AH＝√32a で、面積は 12×a×√32a＝√34a² です。

1辺 12cm の正三角形の面積は、√34×12²＝36√3（cm²）です（高さ √32×12＝6√3 cm からも求められます）。

三角定規を2枚組み合わせた図：∠B＝45°、∠C＝30° の △ABC で、A から BC に垂線 AH をひきます。AB＝4√2 cm のとき、BC＝x cm を求めます。比を2回使います。

BC＝BH＋HC なので、x＝4＋4√3 です。

標準(1) AB＝AC＝10cm、BC＝12cm の二等辺三角形 ABC の面積を求めなさい。(2) 1辺 8cm の正三角形の面積を求めなさい。

(1) 頂点 A から BC に垂線 AH をひくと、BH＝12÷2＝6cm です。

x²＋6²＝10²	△ABH で、斜辺は AB
x²＝100−36	移項して計算する
x＝8	x²＝64、x＞0 だから（高さ 8cm）

面積は 12×12×8＝48（cm²）です。(2) 正三角形の面積の式より、√34×8²＝16√3（cm²）です。

答え：(1) 48cm²　(2) 16√3 cm²

座標平面の2点の距離：横の差と縦の差で直角三角形

📄 プリント8ページ

例1：2点の距離。A(1, 2)、B(6, 5) の距離 AB＝x を求めます。

例2：負の座標をふくむ2点。A(−4, 1)、B(2, −3) の距離 AB＝x を求めます。横の差は 2−(−4)＝6、縦の差は 1−(−3)＝4 です。

例3：3点でできる三角形。A(7, 4)、B(3, 2)、C(2, 4) を頂点とする △ABC は、どんな三角形でしょうか。3辺の長さを2乗で求めます（2点の距離と同じ）。

AB²＝(7−3)²＋(4−2)²＝20、BC²＝(3−2)²＋(2−4)²＝5、CA²＝(7−2)²＋(4−4)²＝25 です。3辺の長さがすべてちがうので、二等辺三角形ではありません。いちばん長い辺は CA で、20＋5＝25 と等しいので、三平方の定理の逆から、CA を斜辺とする直角三角形です。直角は CA の向かい側なので ∠B＝90° です。

標準(1) A(−3, 4)、B(2, −8) の距離を求めなさい。(2) P(−1, −2)、Q(4, 3) の距離を求めなさい。

x²＝(2−(−3))²＋(4−(−8))²	横の差 5、縦の差 12
x²＝25＋144	計算する
x²＝169	計算する
x＝13	x＞0 だから

x²＝(4−(−1))²＋(3−(−2))²	横の差 5、縦の差 5
x²＝25＋25	計算する
x²＝50	計算する
x＝5√2	x＞0 だから。√50＝√(25×2)

答え：(1) 13　(2) 5√2

円の弦・接線の長さと、山から見える距離

📄 プリント9・10ページ

弦の長さと、中心から弦までの距離：中心 O から弦 AB に垂線 OH をひくと、H は弦 AB の中点です（△OAB は OA＝OB の二等辺三角形）。△OAH で OA は半径なので、弦の長さは AB＝2AH で求めます。

例1：弦の長さ。半径 6cm の円で、中心から弦までの距離が 3cm のとき、弦 AB の長さを求めます。

弦 AB は AH の2倍で、3√3×2＝6√3（cm）です。

例2：中心から弦までの距離。半径 7cm の円で、弦 AB が 10cm のとき、中心から弦までの距離 OH＝x cm を求めます。AH は弦の半分なので 5cm です。

例3：接線の長さ。接線は接点を通る半径に垂直です（中1）。半径 OA＝7cm、OP＝11cm のとき、接線の長さ PA＝x cm を求めます。

円の外の点 P からひいた2本の接線の長さは等しい（中3）ので、もう1本の接線の長さも同じです。

山の上から、どれくらい遠くまで見える？地球を球とみて、山頂 P と地球の中心 O を通る切り口の円を考えます。P から見えるいちばん遠い所 T は、P から円にひいた接線の接点です（その先は地球のかげになります）。接線は接点を通る半径に垂直なので、∠OTP＝90° です。

地球の半径を 6400km、山の高さを h km とすると、OT＝6400、OP＝6400＋h です。△OTP で三平方の定理を使うと、PT² を次のように求められます。

山の高さが4倍（0.5km → 2km）になっても、見える距離は約2倍（80km → 160km）にしかなりません。h が地球の半径にくらべて小さいので、PT² の (12800＋h) はほとんど 12800 のままだからです。

標準(1) 半径 9cm の円で、中心から弦 AB までの距離が 5cm のとき、弦 AB の長さを求めなさい。(2) 円 O の外の点 P から円に接線 PA をひきます。半径 OA＝5cm、OP＝13cm のとき、接線の長さ PA を求めなさい。

x²＋5²＝9²	三平方の定理（△OAH で、x は AH）
x²＝56	移項して計算する
x＝2√14	x＞0 だから。√56＝√(4×14)

弦 AB は AH の2倍なので、2√14×2＝4√14（cm）です。

x²＋5²＝13²	三平方の定理（△OAP で、斜辺は OP）
x²＝144	移項して計算する
x＝12	x＞0 だから

答え：(1) 4√14 cm　(2) 12cm

直方体の対角線：直角三角形を2回

📄 プリント11ページ

手順：① 求める長さをふくむ直角三角形をさがす → ② その三角形を、平面の図にかき出す → ③ 三平方の定理を使う（足りない辺は、もう1つの直角三角形で先に求める）。

例1：直方体の対角線。3cm、5cm、8cm の直方体の対角線 AG を求めます。先に底面の対角線 EG を求め、次に △AEG（∠AEG＝90°）で AG を求めます。下の2つの図は、取り出した △EFG と △AEG です。

例2：立方体の対角線。1辺 5cm の立方体の対角線は、√(5²＋5²＋5²)＝5√3（cm）です。逆に、対角線が 12cm の立方体の1辺 x cm は次のようになります。

標準(1) 縦 2cm、横 3cm、高さ 6cm の直方体の対角線の長さを求めなさい。(2) 1辺 6cm の立方体の対角線の長さを求めなさい。

x²＝2²＋3²＋6²	縦²＋横²＋高さ²
＝4＋9＋36	計算する
＝49	計算する
x＝7	x＞0 だから

(2) 立方体の対角線は √(6²＋6²＋6²)＝√108＝6√3（cm）です（√108＝√(36×3)）。

答え：(1) 7cm　(2) 6√3 cm

角すい・円すいの高さと体積：頂点から底面への垂線

📄 プリント12ページ

例1：正四角すい。底面の1辺 8cm、OA＝9cm のとき、底面の対角線の半分 AH は 8√2÷2＝4√2（cm）です。△OAH（∠OHA＝90°）で高さ OH を求めます。

体積は 13×8×8×7＝4483（cm³）です。

例2：円すい。底面の半径 4cm、母線 6cm のとき、半径と母線で直角三角形 OAV をつくり、高さを求めます。

体積は 13×π×4²×2√5＝32√53π（cm³）です。

標準(1) 底面の1辺が 6cm、OA＝6cm の正四角すいの高さと体積を求めなさい。(2) 底面の半径 3cm、母線 5cm の円すいの高さと体積を求めなさい。

(1) 底面の対角線の半分 AH は 6√2÷2＝3√2（cm）です。

x²＋(3√2)²＝6²	三平方の定理（△OAH で、x は OH）
x²＝36−18	移項して計算する
x＝3√2	x²＝18、x＞0 だから。√18＝3√2

体積は 13×6×6×3√2＝36√2（cm³）です。

x²＋3²＝5²	三平方の定理（△OAV で、x は OV）
x²＝25−9	移項して計算する
x＝4	x²＝16、x＞0 だから

体積は 13×π×3²×4＝12π（cm³）です。

答え：(1) 高さ 3√2 cm、体積 36√2 cm³　(2) 高さ 4cm、体積 12π cm³

立体の表面を通る最短の長さ：展開図の上で線分にする

📄 プリント13ページ

2つの面を通るひも：直方体の頂点 A から、辺 BF 上の点 P を通って頂点 G まで、ひもをかけます。ひもが通る2つの面を、展開図で1つの長方形に開くと、2点を結ぶ線のうち最短のものは線分 AG です（中1）。

例1：2つの面を通る。4cm、6cm、9cm の直方体で、A から面 ABFE、面 BCGF の上を通って G まで。展開図では、横 4＋6、縦 9 の長方形の対角線です。

例2：3つの面を通る。2cm、6cm、5cm の直方体で、A から面 ABFE、面 BCGF、面 CDHG の3つの面の上を通って H まで、ひもをかけます。3つの面を横に並べて開きます。

展開図では、横が 2＋6＋2＝10、縦が 5 の長方形の対角線 AH が、この3つの面を通るひものうちで最短です。

標準AB＝3cm、BC＝5cm、AE＝6cm の直方体 ABCD-EFGH で、例1と同じように、A から面 ABFE、面 BCGF の上を通って G まで、ひもをかけます。ひもの最短の長さを求めなさい。

展開図は、横 3＋5＝8、縦 6 の長方形で、AG はその対角線です。

x²＝(3＋5)²＋6²	三平方の定理（展開図の長方形の対角線）
x²＝64＋36	計算する
x²＝100	計算する
x＝10	x＞0 だから

答え：10cm

三平方の定理で方程式をつくる：同じ辺を2通りに表す

📄 プリント14ページ

紙を折り返した図：長方形 ABCD の紙（AB＝8cm、AD＝10cm）を、頂点 D が辺 BC 上の点 E に重なるように、A を通る線 AF で折ります（F は辺 CD 上）。CF＝x cm を求めます。

折り返して重なる辺は等しいので、AE＝AD＝10cm、EF＝DF＝(8−x) cm です。△ABE（斜辺は AE）で、BE＝√(10²−8²)＝6（cm）なので、EC＝10−6＝4（cm）です。△ECF で方程式ができます。

3辺から高さを求める：△ABC で AB＝13cm、BC＝14cm、CA＝15cm とします。A から BC に垂線 AH をひき、BH＝x cm とすると、CH＝(14−x) cm です。AH² を △ABH と △ACH の2通りに表して、等しいとおきます。

AH＝h cm とすると、△ABH で h²＝13²−5²＝144 より h＝12（cm）で、面積は 12×14×12＝84（cm²）です。

発展長方形 ABCD の紙（AB＝4cm、AD＝5cm）を、頂点 D が辺 BC 上の点 E に重なるように、A を通る線 AF で折ります（F は辺 CD 上）。CF＝x cm を求めなさい。

AE＝AD＝5cm、EF＝DF＝(4−x) cm です。△ABE で BE＝√(5²−4²)＝3（cm）なので、EC＝5−3＝2（cm）です。

x²＋2²＝(4−x)²	三平方の定理（△ECF で、斜辺は EF）
x²＋4＝16−8x＋x²	右辺を展開する
8x＝12	x² が消えるので一次方程式
x＝32	両辺を8でわる

答え：CF＝32 cm

相似や円との組み合わせ：補助線で直角三角形をつくる

📄 プリント15ページ

例1：直角三角形の斜辺への垂線。∠A＝90°、AB＝6cm、AC＝8cm の △ABC で、A から斜辺 BC に垂線 AH をひきます。BC を求めたあと、AH は面積を2通りに表して、BH＝x cm は相似で求めます。

例2：2つの円と接線。直線 ℓ に点 A、B で接する、半径 6cm の円 O と半径 2cm の円 P が、たがいに接しています。接する点は OP の上にあるので、OP＝6＋2＝8cm です。AB＝x cm を求めます。

P から OA に垂線 PH をひくと、四角形 ABPH は長方形で、HP＝AB です。OH は 6−2＝4（cm）で、△OHP は直角三角形です。

発展直線 ℓ に点 A、B で接する、半径 9cm の円 O と半径 4cm の円 P が、たがいに接しています。例2と同じように考えて、AB の長さを求めなさい。

OP＝9＋4＝13cm です。P から OA に垂線 PH をひくと、OH＝9−4＝5（cm）で、HP＝AB です。

x²＋5²＝13²	三平方の定理（△OHP で、斜辺は OP。x は HP＝AB）
x²＝144	移項して計算する
x＝12	x＞0 だから

答え：12cm

まとめ

三平方の定理は、直角三角形の直角をはさむ2辺を a、b、斜辺を c とすると a²＋b²＝c² が成り立つ、という定理です。斜辺以外を求めるときはひき算にし、3辺の長さが a²＋b²＝c² を満たせば直角三角形になります（逆）。1：1：√2 と 1：√3：2 の比を使えば、特別な直角三角形の辺がすぐに求まります。座標の2点の距離、円の弦と接線、直方体の対角線、角すい・円すいの高さ、展開図の最短の長さは、どれも直角三角形を取り出して考えます。プリントの確認問題で、斜辺を見つけて2乗の式を立てる練習を、手を動かしてしてみてください。