【中3数学】円の要点まとめ｜円周角の定理・内接四角形のコツ

中3数学「円」を、図と例題で1つずつ確かめるページです。この単元は「円周角は、その弧に対する中心角の半分」と「同じ弧に対する円周角は等しい」の2つが土台です。どの見出しも「答え → 図 → 理由 → 解き方」の順に書いています。紙に書いて練習したい人は、下の無料プリントを使ってください。

円周角とは？ 中心角の半分

📄 プリント1・2ページ

カメラで見ると：写せる角が 50° のカメラで、教室の黒板の両はし A、B がちょうど写るように撮ります。上から見た図で、カメラの位置を P、Q、R にしても、どれも ∠APB＝∠AQB＝∠ARB＝50° で、黒板がちょうど写ります。ちょうど写る位置は1つではなく、A、B を通る円の弧の上に並びます。同じ2点 A、B を、この弧の上のどこから見ても、見える角は同じです。

弧・中心角・円周角：円周上の2点 A、B を両はしとする円周の一部分を弧 ABといい、⌒AB と書きます（ふつうは短いほうの弧）。中心 O と A、B を結んでできる ∠AOB を ⌒AB に対する中心角、⌒AB をのぞいた円周上に点 P をとるときの ∠APB を ⌒AB に対する円周角といいます。

中2のやり方で求めてみる：下の図は ∠AOB＝140° の円です。円周上の点 P、Q、R から見た ∠APB（∠AQB、∠ARB）を求めます。OA、OB、OP は半径で等しいので、△OPA と △OPB は二等辺三角形で、底角は (180°−頂角)÷2 です。

どの点でも ∠APB は 70° で、中心角 ∠AOB（140°）のちょうど半分です。

円周角の定理：① 1つの弧に対する円周角の大きさは一定で、その弧に対する中心角の大きさの半分（∠APB＝12∠AOB）。② 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。たとえば ∠AOB＝116° なら ∠APB は 116÷2＝58°、反対に ∠APB＝37° なら ∠AOB は 37×2＝74° です。

基本円 O の周上に3点 A、B、P があり、⌒AB に対する中心角 ∠AOB＝96° です。⌒AB に対する円周角 ∠APB を求めなさい。

円周角は中心角の半分です。

96÷2	∠APB＝12∠AOB
＝48	円周角

答え：48°（確かめ：48×2＝96）

基本円 O の周上に4点 A、B、P、Q があり、P、Q は ⌒AB をのぞいた円周上にあります。∠APB＝41° のとき、∠AQB と ∠AOB を求めなさい。

同じ ⌒AB に対する円周角なので ∠AQB＝∠APB＝41° です。中心角は円周角の2倍なので ∠AOB＝41×2＝82° です。

答え：∠AQB＝41°、∠AOB＝82°（確かめ：82÷2＝41）

円周角の定理はなぜ成り立つ？ 半径2本で二等辺三角形

📄 プリント3ページ

① 中心 O が ∠APB の辺 PA の上にあるとき：

② 中心 O が ∠APB の内部にあるとき：直径 PC をひき、∠APC＝a、∠CPB＝b とします。

③ 中心 O が ∠APB の外部にあるとき：直径 PC をひき、∠APC＝a、∠BPC＝b とします。

④ 中心角が 180° をこえるとき：P が短いほうの弧 ⌒AB の上にあると、∠APB は、P をふくまない長いほうの弧に対する円周角です。短いほうの ∠AOB が 110° のとき、長いほうの弧に対する中心角は 360−110＝250°（180° をこえる角）なので、円周角は 250÷2＝125° です。②と同じ証明で成り立ちます。

基本円 O で、中心 O が ∠APB の辺 PA の上にあり、∠OBP＝32° です。∠AOB と ∠APB を求めなさい。

OP＝OB（半径）なので ∠OPB＝∠OBP＝32° です。∠AOB は △OPB の外角なので、となり合わない2つの内角の和です。

32＋32	∠AOB＝∠OPB＋∠OBP
＝64	∠AOB

答え：∠AOB＝64°、∠APB＝32°（確かめ：64÷2＝32）

発展円 O で、短いほうの中心角 ∠AOB＝130° です。P が ⌒AB（短いほう）の上にあるときの ∠APB を求めなさい。

∠APB は、P をふくまない長いほうの弧に対する円周角です。長いほうの弧に対する中心角は 360−130＝230° です。

(360−130)÷2	長いほうの中心角の半分
＝115	∠APB

答え：115°（確かめ：反対側の長いほうの弧上の点から見た角は 130÷2＝65° で、65＋115＝180）

円の中の角の求め方：どの弧から出ている角かを見る

📄 プリント4ページ

例1　同じ弧に対する円周角と、三角形の内角の和：円周上の4点 A、B、C、D で、AB＝AC、∠BDC＝70° のとき、∠ABC（x）を求めます。

∠BAC＝∠BDC＝70°（同じ ⌒BC に対する円周角）、AB＝AC なので ∠ABC＝∠ACB です。△ABC の内角の和から求めます。

例2　2つの弦が円の内部で交わってできる角：弦 AC、BD の交点を E とします。∠AEB は △EBC の外角なので、となり合わない2つの内角の和（2つの円周角の和）です。

例3　中心角と二等辺三角形 OAB：点 O は円の中心で、∠OAB＝28° のとき、∠APB（x）を求めます。OA＝OB（半径）なので、先に中心角 ∠AOB を求めます。

標準円周上の4点 A、B、C、D がこの順にあり、弦 AC と BD の交点を E とします。∠ADB＝30°、∠CAD＝50° のとき、∠AEB を求めなさい。

∠ACB と ∠ADB は同じ ⌒AB に対する円周角なので ∠ACB＝30° です。∠DBC と ∠DAC は同じ ⌒CD に対する円周角なので ∠DBC＝50° です。∠AEB は △EBC の外角です。

30＋50	∠AEB＝∠ECB＋∠EBC（外角）
＝80	∠AEB

答え：80°（確かめ：△AED の内角の和から ∠AED＝180−50−30＝100° で、∠AEB＝180−100＝80）

発展点 O は円の中心で、円周上に 2点 A、B があり、∠OAB＝20° です。P が ⌒AB をのぞく長いほうの弧の上にあるときの ∠APB と、短いほうの弧の上にあるときの ∠APB を求めなさい。

OA＝OB なので ∠OBA＝20° で、短いほうの中心角は ∠AOB＝180−20×2＝140° です。

140÷2	長いほうの弧の上の P（短いほうの中心角の半分）
＝70	∠APB

(360−140)÷2	短いほうの弧の上の P（長いほうの中心角 220° の半分）
＝110	∠APB

答え：長いほうの弧の上なら 70°、短いほうの弧の上なら 110°（確かめ：70＋110＝180）

直径に対する円周角は90°

📄 プリント5ページ

例　直径と三角形の内角の和、同じ弧に対する円周角：AB は直径で、∠CAB＝36° のとき、∠ABC（x）と ∠ADC（y）を求めます。

y＝54 です（∠ADC＝∠ABC。同じ ⌒AC に対する円周角）。

具体的な場面　三角定規で円の中心を見つける：円の形の紙の中心を、三角定規の直角で見つけます。直角の頂点 P を円周に合わせ、2辺と円の交点を A、B とすると、AB は直径です（P をふくまない ⌒AB に対する中心角が、∠APB＝90° の2倍の 180° になるため）。向きを変えて、もう1本の直径 CD をひきます。2本の直径の交点が円の中心 O です。

図形の性質の証明：AB は直径、C、D は同じ側で ∠CAB＝∠DBA のとき、AC＝BD を証明します。

基本AB は円 O の直径で、P は円周上の点です。∠ABP＝40° のとき、∠PAB を求めなさい。

AB は直径なので ∠APB＝90° です。

180−90−40	△ABP の内角の和
＝50	∠PAB

答え：50°

標準AB は円 O の直径で、C は円周上の点です。中心角 ∠BOC＝70° のとき、∠ABC を求めなさい。

∠AOC＝180−70＝110° で、∠ABC は ⌒AC に対する円周角なので、その半分です。

(180−70)÷2	∠ABC＝12∠AOC
＝55	∠ABC

答え：55°（確かめ：∠ACB＝90°、∠BAC＝70÷2＝35° なので、90＋35＋55＝180）

弧の長さと円周角：1つの円では比例する

📄 プリント6ページ

中1の「おうぎ形の弧の長さは中心角に比例する」と、「円周角は中心角の半分」から、弧の長さが2倍、3倍になれば、円周角も2倍、3倍になります。

例　弧の長さの比から円周角を求める：1つの円で ⌒AB：⌒CD＝2：5、⌒AB に対する円周角が 18° のとき、⌒CD に対する円周角 x を求めます。

円周を n 等分した点：円周を n 等分すると、弧1つ分の中心角は 360°÷n、円周角は 180°÷n です。下の図は n＝5 で、となり合う2つの点 A、B と、⌒AB をのぞく円周上の点 P（分けた点でなくてもよい）をとっています。360÷5＝72°、72÷2＝36°（180÷5＝36°）です。弧が k 個分なら、中心角も円周角も k 倍です（角の頂点をふくまないほうの弧で数えます）。

図形の性質の証明：円周上に A、B、C、D がこの順にあり、⌒AB＝⌒CD とします。弦 AC と BD の交点を P とするとき、△PBC が二等辺三角形であることを証明します。

基本1つの円で ⌒AB：⌒CD＝3：4 です。⌒AB に対する円周角が 24° のとき、⌒CD に対する円周角を求めなさい。

3：4＝24：x	弧の長さの比＝円周角の比
3x＝96	外側の積＝内側の積
x＝32	両辺を3でわる

答え：32°（確かめ：24÷3＝8 なので、4にあたる角は 8×4＝32）

標準円周を9等分した点があります。となり合う2点 A、B と、⌒AB をのぞく円周上の点 P をとるとき、∠APB を求めなさい。また、弧が4つ分の ⌒AE に対する円周角を求めなさい。

180÷9	円周角は 180°÷n
＝20	弧1つ分の円周角

弧が4つ分なら円周角も4倍なので 20×4＝80° です。

答え：∠APB＝20°、⌒AE に対する円周角は 80°（確かめ：中心角は 360÷9×4＝160° で、その半分の 80°）

標準1つの円で、⌒EF、⌒GH に対する円周角が 24°、36° で、⌒EF の長さが 8cm です。⌒GH の長さを求めなさい。

⌒GH の長さを x cm とします。弧の長さの比は円周角の比と等しくなります。

24：36＝8：x	円周角の比＝弧の長さの比
24x＝288	外側の積＝内側の積（36×8）
x＝12	両辺を24でわる

答え：12cm（確かめ：24：36＝2：3、8：12＝2：3）

円周角の定理の逆：同じ角で見ていれば、1つの円周上

📄 プリント7・8ページ

なぜ成り立つ？A、B、P を通る円をかき、P と同じ側にある点 Q が、円の内部・外部にあるときの ∠AQB を、∠APB とくらべます（中2の三角形の外角）。

Q が円の内部のとき、AQ をのばして円との交点を S とすると、∠AQB は △QSB の外角で ∠AQB＝∠QSB＋∠QBS、∠QSB＝∠APB（同じ ⌒AB）です。たとえば ∠APB＝50°、∠QBS＝22° なら ∠AQB＝50＋22＝72° で、∠APB より大きくなります。Q が円の外部のとき、AQ と円との交点を T とすると、∠ATB は △TQB の外角で ∠ATB＝∠TQB＋∠TBQ、∠ATB＝∠APB です。たとえば ∠APB＝50°、∠TBQ＝10° なら ∠AQB＝50−10＝40° で、∠APB より小さくなります。等しくなるのは、Q が円周上にあるときだけです。

判断の手順：① 同じ線分の両はしから見た、等しい角の組を探す → ② 2つの点が、その直線について同じ側にあるか確かめる → ③「4点は1つの円周上にある」と書く。

左の図は ∠APB＝∠AQB＝65° で、P、Q は直線 AB について同じ側にあるので、4点 A、B、P、Q は1つの円周上にあります。右の図は ∠APB＝∠AQB＝65° ですが、P、Q は直線 AB の反対側なので、4点が1つの円周上にあるとはいえません。同じ側でも角が等しくなければ、1つの円周上にありません。

円がかかれていない図で角を求める：A、D は直線 BC について同じ側にあり、∠BAC＝∠BDC＝70° なので、4点 A、B、C、D は1つの円周上にあります。頭の中で円をかくと、∠ACD と ∠ABD は同じ ⌒AD に対する円周角です。AC と BD の交点を E として、∠ABD＝35° のとき、∠ACD（x）と ∠AED（y）も求めます。

90° で見る点：∠APB＝90° の点 P は、AB を直径とする円の周上にあります（A、B 以外）。A、B、P を通る円をかくと、P をふくまない ⌒AB に対する中心角は 90° の2倍で 180° なので、AB はその円の直径です。

船の位置を調べよう：灯台 A、B、C が地図にあります。船 P から A と B を見る角が 90°、B と C を見る角が 60° と測れたとき、船の位置は次のように決まります。

① 三角定規の 90° の角の2辺が A、B を通るように動かすと、直角の頂点は AB を直径とする円の上を動きます（逆）。この円は、AB の中点 M を中心にコンパスでかきます。② 60° の角の2辺が B、C を通るように動かすと、頂点は B、C を通る円の弧の上を動きます。③ 船 P は、2つの円の交点のうち B でないほうです。

基本線分 AB について、点 P、Q があります。(1) P、Q が AB について同じ側にあり、∠APB＝∠AQB＝58° のとき、4点 A、B、P、Q は1つの円周上にありますか。(2) P、Q が AB について反対側にあり、∠APB＝∠AQB＝58° のときはどうですか。

(1) 同じ側で、見える角が等しいので、逆が使えます。(2) 角は等しくても、反対側なので逆は使えません。

答え：(1) ある　(2) あるとはいえない

標準線分 AB について同じ側に点 P、Q があり、∠APB＝70°、∠AQB＝75° です。4点 A、B、P、Q は1つの円周上にありますか。

同じ側にありますが、∠APB と ∠AQB は等しくありません。∠AQB のほうが大きいので、Q は A、B、P を通る円の内部にあります。

答え：ない（円周上にあるのは、∠APB＝∠AQB のときだけ）

標準円周上の4点 A、B、C、D があり、A、D は直線 BC について同じ側です。∠BAC＝∠BDC＝50°、∠ABD＝30° で、AC と BD の交点を E とします。∠ACD と ∠AED を求めなさい。

∠ACD と ∠ABD は同じ ⌒AD に対する円周角なので ∠ACD＝30° です。∠AED は △ECD の外角で、∠ECD＝30°、∠EDC＝∠BDC＝50° です。

30＋50	∠AED＝∠ECD＋∠EDC（外角）
＝80	∠AED

答え：∠ACD＝30°、∠AED＝80°（確かめ：△ABE の内角の和から ∠AEB＝180−50−30＝100° で、∠AED＝180−100＝80）

発展AB＝8cm の線分があります。∠APB＝90° になる点 P は、どんな図形の周上にありますか。その円の半径を求めなさい。

∠APB＝90° の点 P は、AB を直径とする円の周上にあります（A、B 以外）。直径は 8cm、中心は AB の中点です。

8÷2	半径＝直径÷2
＝4	半径

答え：AB を直径とする円の周上（A、B はのぞく）、半径 4cm

円に内接する四角形のコツ：向かい合う角の和は180°

📄 この見出しの内容はプリントにはありません（円周角の定理から説明できる性質です）

わけ：∠A は、A をふくまない ⌒BCD に対する円周角なので、その中心角は 2a です。∠C は、C をふくまない ⌒DAB に対する円周角なので、その中心角は 2c です。⌒BCD と ⌒DAB を合わせると円1周なので、2つの中心角の和は 360° です。

外角：辺 DC を C の先へのばした点を E とすると、∠BCE＝180°−∠BCD です。∠BCD＝180°−∠BAD なので、∠BCE＝∠BAD になります。

例　向かい合う角を求める：四角形 ABCD は円に内接し、∠BAD＝80°、∠ABC＝95° です。x＝∠BCD と y＝∠ADC を求めます。

確かめ：四角形の内角の和は 80＋95＋100＋85＝360 で、360° になっています。

基本四角形 ABCD は円に内接しています。∠ABC＝68° のとき、∠ADC を求めなさい。

∠ADC は ∠ABC と向かい合う角です。

180−68	向かい合う角の和は 180°
＝112	∠ADC

答え：112°

標準四角形 ABCD は円 O に内接しています。A をふくまない ⌒BCD に対する中心角が 140° のとき、∠BAD と ∠BCD を求めなさい。

∠BAD は ⌒BCD に対する円周角なので、中心角の半分です。

140÷2	∠BAD＝12×140
＝70	∠BAD

180−70	∠BCD は ∠BAD と向かい合う角
＝110	∠BCD

答え：∠BAD＝70°、∠BCD＝110°（確かめ：⌒DAB に対する中心角は 360−140＝220° で、その半分が 110°）

標準四角形 ABCD は円に内接し、辺 DC を C の先へのばした点を E とします。∠BAD＝72° のとき、∠BCE を求めなさい。

∠BCE は頂点 C の外角で、向かい合う ∠BAD に等しくなります。

180−72	∠BCD（向かい合う角の和は 180°）
＝108	∠BCD

180−108	∠BCE（一直線は 180°）
＝72	∠BCE

答え：72°

円の外の点から接線をひく：PO を直径とする円

📄 プリント9ページ

接線の作図：① 線分 PO の垂直二等分線をひき、PO の中点 M をとる → ② M を中心に、半径 MO の円をかく → ③ 円 O との交点を A、B とする → ④ 直線 PA、PB をひく（これが接線）。

わけは、円 M は PO を直径とする円なので、∠PAO は半円の弧に対する円周角で 90° だからです。半径 OA に、その端 A で垂直な直線は円 O の接線（中1）なので、PA は円 O の接線です。PB も同じです。

接線の長さが等しいわけ：円の外の1点からひいた2本の接線の長さは等しく、円が三角形の3辺に接するときも、三角形の1つの頂点から2つの接点までの長さは等しくなります（その頂点からひいた2本の接線になるため）。

例　接線の長さを使って角を求める：PA、PB は円 O の接線で、A、B は接点です。∠APB＝56° のとき、∠PAB（x）と、円周上の点 C での ∠ACB（y）を求めます。

標準PA、PB は円 O の接線で、A、B は接点です。∠APB＝48° のとき、∠PAB と、円周上の点 C（⌒AB の長いほうの上）での ∠ACB を求めなさい。

(180−48)÷2	PA＝PB なので △PAB は二等辺三角形
＝66	∠PAB

(360−90−90−48)÷2	四角形 PAOB の内角の和から ∠AOB＝132°。∠ACB はその半分
＝66	∠ACB

答え：∠PAB＝66°、∠ACB＝66°（確かめ：△PAB の内角の和 66＋66＋48＝180）

標準円が △ABC の3辺 AB、BC、CA に、それぞれ点 D、E、F で接しています。AD＝4cm、BE＝3cm、CF＝5cm のとき、△ABC の3辺の長さを求めなさい。

1つの頂点から2つの接点までの長さは等しいので、AF＝AD＝4cm、BD＝BE＝3cm、CE＝CF＝5cm です。

4＋3	AB＝AD＋DB
＝7	AB（cm）

3＋5	BC＝BE＋EC
＝8	BC（cm）

5＋4	CA＝CF＋FA
＝9	CA（cm）

答え：AB＝7cm、BC＝8cm、CA＝9cm（確かめ：3辺の和は 7＋8＋9＝24 で、AD、BE、CF の和の2倍 (4＋3＋5)×2＝24）

円の中の相似な三角形：同じ弧の円周角を探す

📄 プリント10・11ページ

例1　2つの弦が円の内部で交わる形：弦 AB、CD が点 P で交わり、PA＝3cm、PC＝4cm、PB＝8cm のとき、PD（x）を求めます。⌒BC の円周角と対頂角が等しいので、△PAC∽△PDB です。

例2　円の外の点から2本の直線をひいた形：点 P から2本の直線が円と A、B と C、D で交わり（A、C が近いほう）、PC＝3cm のとき PD（x）を求めます。共通な角 ∠P と ⌒AC の円周角が等しいので、△PBC∽△PDA です。

例3　直径と、そこへの垂線：AB は直径（AB＝9cm）、CH⊥AB、AC＝6cm のとき AH（x）を求めます。∠ACB＝∠AHC＝90° と共通な角 ∠A で △ABC∽△ACH です。△CBH も △ABC と相似（共通な角 ∠B と 90°）なので △ACH∽△CBH もいえます。

円の中の相似を証明する：証明のひな型は中3の相似の証明と同じです。①「△○○○と△○○○において」と書く → ② 仮定から分かることを書く → ③ 図から分かることを、根拠もつけて書く → ④「①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので」と書く → ⑤「△○○○∽△○○○」と結論を書く。円の中では、根拠を次のように書きます。

例1　等しい弧を根拠にする証明：⌒AB＝⌒AC の円で、弦 AD と BC の交点を E とします。△ABE∽△ADB を証明します。

例2　直径を根拠にする証明：AB を直径とする円 O の周上に C、D をとり、弦 AC と BD の交点を E とします。△ADE∽△BCE を証明します。

標準弦 AB、CD が円の内部の点 P で交わり、PA＝2cm、PC＝5cm、PB＝10cm です。PD の長さを求めなさい。ただし △PAC∽△PDB を使ってよいものとします。

2：x＝5：10	PA：PD＝PC：PB
5x＝20	外側の積＝内側の積（2×10）
x＝4	両辺を5でわる

答え：PD＝4cm（確かめ：PA：PD＝2：4＝1：2、PC：PB＝5：10＝1：2）

標準円の外の点 P から2本の直線が円と A、B と C、D で交わります（A、C が近いほう）。PA＝3cm、AB＝12cm、PC＝5cm のとき、PD の長さを求めなさい。

PB＝3＋12＝15（cm）です。共通な角 ∠P と ⌒AC の円周角が等しいので、△PBC∽△PDA です。PD を x cm とします。

15：x＝5：3	PB：PD＝PC：PA
5x＝45	外側の積＝内側の積（15×3）
x＝9	両辺を5でわる

答え：PD＝9cm（確かめ：PB：PD＝15：9＝5：3、PC：PA＝5：3）

標準AB は直径（AB＝16cm）、C は円周上の点で、C から AB に垂線 CH をひきます。AC＝12cm のとき、AH の長さを求めなさい。

∠ACB＝∠AHC＝90° と共通な角 ∠A から △ABC∽△ACH です。AH を x cm とします。

16：12＝12：x	AB：AC＝AC：AH
16x＝144	外側の積＝内側の積（12×12）
x＝9	両辺を16でわる

答え：AH＝9cm（確かめ：AB：AC＝16：12＝4：3、AC：AH＝12：9＝4：3）

発展円周上に4点 A、B、C、D がこの順にあり、弦 AC と BD の交点を P とします。△PAB∽△PDC を証明しなさい。

△PAB と △PDC において	比べる2つの三角形
∠APB＝∠DPC …①	対頂角は等しい
∠PAB＝∠PDC …②	⌒BC に対する円周角は等しい
△PAB∽△PDC	①、②より、2組の角がそれぞれ等しい

等しい角から A↔D、B↔C、P↔P と対応するので、△PAB∽△PDC の順に書きます。

まとめ

円周角は、その弧に対する中心角の半分で、同じ弧に対する円周角は等しくなります。直径に対する円周角は90°、1つの円では弧の長さと円周角は比例します。同じ側から同じ角で見ている点は1つの円周上にあり（円周角の定理の逆）、90° で見える点は直径の円の上にあります。円に内接する四角形では、向かい合う角の和は180°で、1つの外角は内対角に等しくなります。円の外の点からの接線は PO を直径とする円で作図でき、2本の接線の長さは等しくなります。円の中の長さや証明には、同じ弧の円周角から相似な三角形を見つけて使います。プリントの確認問題で、どの弧に対する角かを図に書きこむ練習を手を動かして練習してみてください。