【中2数学】式の計算の要点まとめ｜無料プリント付き

中2数学「式の計算」で、同類項のまとめ方・単項式の乗法と除法・式の値・文字を使った数の性質の説明・等式の変形を、例題で1つずつ確かめるページです。この単元は「かっこの外の数は、中のすべての項にかける」と「いつでも成り立つことは、文字で説明する」の2つが土台です。どの見出しも「答え → 理由 → 解き方」の順に書いています。紙に書いて練習したい人は、下の無料プリントを使ってください。

単項式・多項式・次数：式を項の数と文字の個数で分ける

📄 プリント1・2ページ

数のマジック：好きな数を2つ書き、3番目からは、すぐ前の2つの数の和を書いていきます。6つ書いたら、6つの数の和は、5番目の数の4倍になる、と言われています。

3つの例では、どれも4倍になりました。でも、調べていない数があるので「いつでも」とは言い切れません。そこで、はじめの2つを a、b として文字で表します（表の4行目）。この6つの数の和を計算するには、2種類の文字をふくむ式の計算が要ります。中1では文字が1種類の式を計算しましたが、この章では2種類以上の式を計算し、数の性質を説明します。マジックのわけは、「多項式の加法・減法」の見出しで確かめます。

項：項を答えるときは、ひき算を「負の数をたす」形に直します。4x−3y＋2＝4x＋(−3y)＋2 なので、項は 4x、−3y、2 です。項は前の符号とセットで、＋は書かないだけです。

x3 は x3＝13x で乗法だけなので単項式、a＋b2 は a＋b2＝12a＋12b で項が2つなので多項式です。a や 7 のように1つの文字や数だけの式も単項式です。

次数：多項式では、各項の次数のうちでもっとも大きいものを、その多項式の次数といいます。次数が1の式を1次式、2の式を2次式といいます。

係数の 5 や 2 は、文字ではないので数えません。数だけの項（＋5 など）の次数は考えず、文字をふくむ項のうちでいちばん大きい次数が、多項式の次数です。

基本次のア〜エのうち、単項式をすべて選びなさい。ア 9　イ −xy²　ウ a−b　エ m＋n3

アは数だけ、イは乗法だけなので単項式です。ウは項が2つ、エは m＋n3＝13m＋13n で項が2つなので多項式です。

答え：ア、イ

標準多項式 5x−2y²＋7 の項をすべて答えなさい。また、何次式ですか。

5x−2y²＋7＝5x＋(−2y²)＋7 と見ます。各項の次数は、5x が1、−2y² が y×y で2です。数だけの項 7 は数えません。

答え：項は 5x、−2y²、7。2次式

多項式のたし算・ひき算：同類項をまとめる

📄 プリント3ページ

ノートでは、同類項に前の符号ごと同じ印をつけてから集めると、まちがいが減ります。

（右の式の a² と a は、文字の部分がちがうので同類項ではありません。）

多項式の加法と減法：加法はかっこをそのままはずします。減法は、ひく式のかっこの中の全部の項の符号を変えてはずします。

「A から B をひく」は A−B です（「から」の前の式が先）。縦に並べるときは、同類項（数だけの項どうしも同類項）を縦にそろえ、ひく式の符号を全部変えてたします。3x²−x＋4 から x²＋2x−1 をひくと (3x²−x＋4)−(x²＋2x−1)＝2x²−3x＋5 です。

マジックのわけ：最初の見出しの6つの数の和は、a＋b＋(a＋b)＋(a＋2b)＋(2a＋3b)＋(3a＋5b)＝8a＋12b です。5番目の数の4倍 4(2a＋3b)＝8a＋12b と同じなので、いつでも4倍になります（書き方は、後の「数の性質の説明」の見出し）。

基本6x²−4x−x²＋9x を計算しなさい。

6x²−4x−x²＋9x	もとの式
＝6x²−x²−4x＋9x	同類項を集める
＝5x²＋5x	まとめる

標準(3a−5b)−(−2a＋b) を計算しなさい。

(3a−5b)−(−2a＋b)	もとの式
＝3a−5b＋2a−b	符号を変えてはずす
＝3a＋2a−5b−b	同類項を集める
＝5a−6b	まとめる

標準3a²−2a＋5 から a²−4a＋1 をひきなさい。

(3a²−2a＋5)−(a²−4a＋1)	「から」の前の式が先
＝3a²−2a＋5−a²＋4a−1	符号を変えてはずす
＝3a²−a²−2a＋4a＋5−1	同類項を集める
＝2a²＋2a＋4	まとめる

多項式に数をかける・数でわる

📄 プリント4ページ

数をかける：

数でわる：わる数が整数のときは、分数の形にして分子の全部の項をわるか、わる数の逆数を全部の項にかけます（÷4 は ×14 と同じです）。

分数でわるときは、逆数をかけます（23 の逆数は 32 です）。

基本−5(2a−3b＋4) を計算しなさい。

−5(2a−3b＋4)	もとの式
＝−5×2a＋(−5)×(−3b)＋(−5)×4	符号ごと全部の項にかける
＝−10a＋15b−20	計算する

標準(10a−15b)÷(−52) を計算しなさい。

(10a−15b)÷(−52)	もとの式
＝(10a−15b)×(−25)	逆数をかける
＝−4a＋6b	全部の項にかける

かっこが2つある式と、分数の形の式

📄 プリント5・6ページ

後ろに −数 がつくとき：ひく式は、−3 を中の全部の項にかけます。符号が変わる項に注意します。

分数の係数：

3つの項の式：

分数の形の式の加法と減法：x＋y2＋x−y3 は、分母がちがうのでそのままたせません。数の分数と同じように通分します（12＋13＝36＋26＝56）。通分した分子には、かっこをつけてから、かっこをはずします。

分数でない式との計算：分母が同じ分数に直します。

分数でない式が a−2b のように2つ以上の項のときは、全体にかっこをつけて分母の数をかけ、a−2b＝2(a−2b)2 とします（かっこが無いと、−2b に2をかけ忘れます）。

標準5(x−2y)−2(3x−4y) を計算しなさい。

5(x−2y)−2(3x−4y)	もとの式
＝5x−10y−6x＋8y	① 分配法則ではずす
＝5x−6x−10y＋8y	② 同類項を集める
＝−x−2y	③ まとめる

標準x−y2＋2x＋y3 を計算しなさい。

x−y2＋2x＋y3	もとの式
＝3(x−y)6＋2(2x＋y)6	通分する
＝3(x−y)＋2(2x＋y)6	分子をまとめる
＝3x−3y＋4x＋2y6	かっこをはずす
＝7x−y6	同類項をまとめる

発展3a−a＋2b5 を計算しなさい。

3a−a＋2b5	もとの式
＝15a5−a＋2b5	3a を分母5の分数にする
＝15a−(a＋2b)5	分子をかっこごとひく
＝14a−2b5	かっこをはずして、同類項をまとめる

単項式どうしのかけ算とわり算

📄 プリント7・8ページ

面積図で考える：縦 3a、横 4b の長方形を、縦を a ずつ3つ、横を b ずつ4つに分けます。小さな長方形1つの面積は ab で、全部で 3×4＝12 個あります。

係数と文字に分けてかける：

累乗をふくむ：累乗は先に計算します。(−3x)² は −3x を2回かけたもの、−3x² は −3×x×x のことで、別の式です。

わり算は分数の形にして約分：÷4a は「÷4×a」ではなく「÷(4a)」です。わる式の全部を分母に入れて、係数どうし・文字どうしを約分します。

分数の係数のとき：分数でわるときは、逆数をかけます。32a は 3a2 と同じなので、逆数は 23a です。

基本5a×(−4b) を計算しなさい。

5a×(−4b)	もとの式
＝5×(−4)×a×b	係数どうし、文字どうし
＝−20ab	計算する

標準(−4a)²×12b を計算しなさい。

(−4a)²×12b	もとの式
＝16a²×12b	累乗を先に計算する
＝8a²b	16×12＝8

標準18x²y÷(−6xy) を計算しなさい。

18x²y÷(−6xy)	もとの式
＝−18x²y6xy	分数の形にする（− は前に出す）
＝−3x	約分する

発展34a²b÷92ab を計算しなさい。

34a²b÷92ab	もとの式
＝3a²b4÷9ab2	分数の形にそろえる
＝3a²b4×29ab	逆数をかける
＝6a²b36ab	分子どうし、分母どうし
＝a6	約分する

×と÷が混じった式：÷の後ろは分母、×の後ろは分子

📄 プリント9ページ

累乗や分数の係数をふくむ：累乗がある式は、先に累乗を計算します。

標準6xy²×(−4x)÷8xy を計算しなさい。

6xy²×(−4x)÷8xy	もとの式
＝−6xy²×4x8xy	① 符号は −　② 1つの分数にする
＝−24x²y²8xy	分子を計算する
＝−3xy	③ 約分する

標準15a²b÷(−3a)÷5b を計算しなさい。

15a²b÷(−3a)÷5b	もとの式
＝−15a²b3a×5b	① 符号は −　② ÷の後ろを分母に
＝−15a²b15ab	分母を計算する
＝−a	③ 約分する

発展(−3a)²÷6a×2b を計算しなさい。

(−3a)²÷6a×2b	もとの式
＝9a²÷6a×2b	累乗を先に計算する
＝9a²×2b6a	1つの分数にする
＝18a²b6a	分子を計算する
＝3ab	約分する

式の値を楽に求める：式を簡単にしてから代入する

📄 プリント10ページ

x＝−2、y＝3 のとき、2(x−3y)−3(2x−y) の値を求めます。まず式を簡単にしてから代入します。

そのまま代入すると、次のようにかっこの中が多くなり、計算が長くなります。

乗法・除法の式：a＝3、b＝−12 のとき、18a²b÷6a の値を求めます。

a² に先に代入すると、18×9×(−12)÷18 と長い計算になります。

負の数の代入：負の数を代入するときは、かっこをつけます。x＝−2 のとき x² は (−2)²＝4 です。

標準x＝−3、y＝2 のとき、4(x＋y)−3(2x−y) の値を求めなさい。

4(x＋y)−3(2x−y)	もとの式
＝4x＋4y−6x＋3y	符号を変えてはずす
＝−2x＋7y	同類項をまとめる

−2×(−3)＋7×2	x＝−3、y＝2 を代入する
＝6＋14	計算する
＝20

確かめ：そのまま代入すると 4×(−3＋2)−3×(2×(−3)−2)＝4×(−1)−3×(−8)＝−4＋24＝20 で同じ値です。

標準a＝−3、b＝12 のとき、20a²b÷(−4a) の値を求めなさい。

20a²b÷(−4a)	もとの式
＝−20a²b4a	分数の形にする（− は前に出す）
＝−5ab	約分する

−5×(−3)×12	a＝−3、b＝12 を代入する
＝15×12	−5×(−3)＝15
＝152	計算する

確かめ：そのまま代入すると 20×(−3)²×12÷(−4×(−3))＝90÷12＝152 で同じ値です。

数の性質の説明：3つの続いた整数の和

📄 プリント11ページ

「3つの続いた整数の和は3の倍数」と予想できます。でも、整数は無数にあるので、例をいくつ調べても「いつでも」とは言えません。そこで文字を使います。

説明の例：n を整数とすると、3つの続いた整数は n、n＋1、n＋2 と表される。その和は

n＋1 は整数だから、3(n＋1) は3の倍数である。したがって、3つの続いた整数の和は3の倍数である。3n＋3＝3(n＋1) は、分配法則 3(n＋1)＝3n＋3 を逆に見て、3でくくった形です。

置き方を変える：n＋1 は真ん中の数です。真ん中の数を n とすると、3つの数は n−1、n、n＋1 で、計算が短くなります。(n−1)＋n＋(n＋1)＝3n なので、和は真ん中の数の3倍です。

カレンダーの十字：カレンダーで十字の形に囲んだ5つの数の和は、真ん中の数の5倍です。真ん中の数を n とすると、上は1週間前の n−7、下は n＋7、左は n−1、右は n＋1 です。

(n−7)＋(n−1)＋n＋(n＋1)＋(n＋7)＝5n です。

標準5つの続いた整数の和は、真ん中の数の5倍になります。このわけを、文字を使って説明しなさい。

n を整数とし、真ん中の数を n とすると、5つの続いた整数は n−2、n−1、n、n＋1、n＋2 と表される。その和は

(n−2)＋(n−1)＋n＋(n＋1)＋(n＋2)	5つの数の和
＝5n	同類項をまとめる

5n は真ん中の数 n の5倍である。したがって、5つの続いた整数の和は、真ん中の数の5倍になる。

確かめ：6、7、8、9、10 の和は 40 で、真ん中の数 8 の5倍です。

偶数・奇数の説明：別の文字か、同じ文字か

📄 プリント12ページ

偶数と奇数の和は奇数：m、n を整数とすると、偶数は 2m、奇数は 2n＋1 と表される。その和は

m＋n は整数だから、2(m＋n)＋1 は奇数である。したがって、偶数と奇数の和は奇数である。

なぜ別の文字を使うのか：「偶数と奇数」はどんな2つでもよいので、別の文字 m、n を使います。同じ n で 2n、2n＋1 とすると、6 と 7 のような続いた2つの数のときだけの説明になってしまいます。

奇数どうし・続いた奇数：m、n を整数とすると、2つの奇数は 2m＋1、2n＋1 と表される。その和は

m＋n＋1 は整数だから、2(m＋n＋1) は偶数である。したがって、2つの奇数の和は偶数である。「2つの続いた奇数」なら、同じ文字 n で 2n＋1、2n＋3 と表します。(2n＋1)＋(2n＋3)＝4n＋4＝4(n＋1) で、n＋1 は整数だから、和は4の倍数です。

基本2つの偶数の和は偶数になります。このわけを、文字を使って説明しなさい。

m、n を整数とすると、2つの偶数は 2m、2n と表される（どんな2つでもよいので別の文字）。その和は

2m＋2n	偶数＋偶数
＝2(m＋n)	2でくくる

m＋n は整数だから、2(m＋n) は偶数である。したがって、2つの偶数の和は偶数である。

標準3つの続いた奇数の和は、3の倍数になります。このわけを、文字を使って説明しなさい。

n を整数とすると、3つの続いた奇数は 2n＋1、2n＋3、2n＋5 と表される。その和は

(2n＋1)＋(2n＋3)＋(2n＋5)	3つの奇数の和
＝6n＋9	同類項をまとめる
＝3(2n＋3)	3でくくる

2n＋3 は整数だから、3(2n＋3) は3の倍数である。したがって、3つの続いた奇数の和は3の倍数である。

確かめ：n＝2 なら 5、7、9 で、和は 21＝3×7 です。

位の数を使った説明：2けた・3けたの自然数

📄 プリント13ページ

53 は、十の位が5、一の位が3なので、53＝10×5＋3 と表せます。

入れかえた数との和：まず数で試します。53＋35＝88＝11×8 なので、11の倍数になりそうです。2けたの自然数の十の位の数を a、一の位の数を b とすると、もとの数は 10a＋b、入れかえた数は 10b＋a と表される。その和は

a＋b は整数だから、11(a＋b) は11の倍数である。したがって、和は11の倍数である。

条件を変える（和を差に）：53−35＝18＝9×2 なので、差は9の倍数になりそうです。

9a−9b＝9(a−b) で、a−b は整数だから、9(a−b) は9の倍数である。したがって、差は9の倍数である。

3けたの自然数：百の位と一の位を入れかえた数との差です。742−247＝495＝99×5 なので、99の倍数になりそうです。

99a−99c＝99(a−c) で、a−c は整数だから、99(a−c) は99の倍数である。したがって、差は99の倍数である。

位の数どうしの関係が決まっているときは、その関係で文字を減らします。一の位の数が十の位の数より2大きい2けたの自然数は、十の位の数を a とすると 10a＋(a＋2)＝11a＋2 です。

標準十の位の数と一の位の数が同じ2けたの自然数（11、22、33、…）は、11の倍数になります。このわけを、文字を使って説明しなさい。

十の位の数も一の位の数も a とすると、この自然数は 10a＋a と表される。

10a＋a	十の位が a、一の位が a の数
＝11a	同類項をまとめる

a は整数だから、11a は11の倍数である。したがって、十の位の数と一の位の数が同じ2けたの自然数は、11の倍数である。

確かめ：a＝4 なら 44＝11×4 です。

発展一の位の数が十の位の数より3大きい2けたの自然数を、十の位の数 a を使った式で表しなさい。

一の位の数は a＋3 です。

10a＋(a＋3)	十の位が a、一の位が a＋3 の数
＝11a＋3	かっこをはずして、同類項をまとめる

確かめ：a＝2 なら、十の位が2、一の位が5の 25 になり、11×2＋3＝25 です。

身のまわりの場面を文字で説明する：トラックと数あて

📄 プリント14ページ

トラックのレーンの差：トラックは2つの半円と2本の直線でできています。内側のレーンの線の半円の半径を r m、直線の部分を1本 ℓ m、レーンの幅を 1 m とし、1周の長さはレーンの内側の線で考えます。

内側のレーンの1周は、半円2つ（円1つ分）と直線2本なので 2πr＋2ℓ（m）、外側のレーンの1周は、半径が r＋1 になるので 2π(r＋1)＋2ℓ（m）です。

差は 2π m で、r にも ℓ にも関係しません。

基本上のトラックで、レーンの幅が 3 m のとき、外側の線の1周は内側の線の1周より何 m 長いですか。内側の線の半円の半径を r m、直線の部分を1本 ℓ m とします。

外側の線の半円の半径は r＋3 なので、外側の1周は 2π(r＋3)＋2ℓ（m）です。

2π(r＋3)＋2ℓ−(2πr＋2ℓ)	外側の1周−内側の1周
＝2πr＋6π＋2ℓ−2πr−2ℓ	かっこをはずす
＝6π	r も ℓ も消える

答え：6π m 長い（r や ℓ に関係しない）

発展数あてをします。ある数 x を2倍して8をたし、2でわって、もとの数をひきます。答えはいつでも4になります。そのわけを、文字を使って説明しなさい。

ある数を x とすると、計算の順に式をつくって、

2x＋82−x	2倍して8をたし、2でわって、x をひく
＝x＋4−x	分子の全部を2でわる
＝4	x が消える

x にどんな数を入れても、答えは4になる。

確かめ：x＝6 なら、2倍して12、8をたして20、2でわって10、6をひいて4です。

等式の変形：y＝…の形にする

📄 プリント15ページ

周の長さが 30cm の長方形の縦を x cm、横を y cm とすると、2x＋2y＝30 です。縦が 6、7、8cm のとき（x＝6、7、8）の横 y を、毎回方程式を解いて求めるより、先に y＝15−x と変形しておくと、すぐ求められます。

y について解く：

公式を変形する：

(a＋b)h のように、かっこの式に文字がかけられているときは、かっこの式をひとまとまりと見て、両辺をその文字でわります。

基本3x＋4y＝12 を y について解きなさい。

3x＋4y＝12	y について解く
4y＝−3x＋12	3x を移項する
y＝−34x＋3	両辺を4でわる（右辺の全部の項）

標準2a−5b＝10 を a について解きなさい。

2a−5b＝10	a について解く
2a＝5b＋10	−5b を移項する
a＝52b＋5	両辺を2でわる（右辺の全部の項）

標準円柱の側面積 S cm² は、底面の半径を r cm、高さを h cm とすると S＝2πrh です。この式を h について解きなさい。

S＝2πrh	h について解く
2πrh＝S	左辺と右辺を入れかえる
h＝S2πr	両辺を 2πr でわる

まとめ

式の計算は、同類項をまとめることと、数をかけるときは中のすべての項にかけることが土台です。ひく式のかっこは、全部の項の符号を変えてはずします。単項式の乗法は係数の積に文字の積をかけ、除法は分数の形にして約分し、×と÷が混じるときは、÷の後ろを分母、×の後ろを分子にします。式の値は、先に式を簡単にしてから代入します。数の性質は、n や 2n、2n＋1、10a＋b のように文字で表して計算し、□×(整数) の形にして説明します。等式の変形は、解く文字を左辺に残して、方程式と同じように解きます。プリントの確認問題で、かっこをはずす計算と、数の性質の説明を手を動かして練習してみてください。