【中2数学】連立方程式の要点まとめ｜加減法・代入法の使い分けと文章題

中2数学「連立方程式」で、加減法と代入法の使い分けから、代金・速さ・割合・数の文章題までを、例題で1つずつ確かめるページです。この単元は「文字が2つなら、式も2つ」と「2つの式から1つの文字を消す」の2つが土台です。どの見出しも「答え → 解き方 → 例題」の順に書いています。紙に書いて練習したい人は、下の無料プリントを使ってください。

連立方程式とその解：文字が2つなら式も2つ

📄 プリント1・2ページ

3点シュートと2点シュート：3点シュートと2点シュートを合わせて9本決め、得点は22点でした。3点シュートを x 本とすると、2点シュートは (9−x) 本なので、表で調べると得点が22点になるのは、3点シュートが4本、2点シュートが5本のときです。

3点を x 本、2点を y 本とすると、「本数の合計が9本」「得点の合計が22点」という文章の2つの関係が、そのまま x＋y＝9 …① と 3x＋2y＝22 …② の2つの式になります。1つの式では1つの文字しか求められないので、文字が2つなら式も2つ必要です。連立方程式は、左に大かっこをつけて2つの式をまとめて書き、解は x＝4、y＝5 と書きます。

解かどうかの確かめ：連立方程式 3x＋2y＝7 …①、x−4y＝7 …② で、x＝3、y＝−1 と x＝1、y＝2 を、2つの式の両方に入れて調べます。

左は両方成り立つので解です。右は①だけ成り立ち、②は成り立たないので、解ではありません。

2つの文字をふくむ1次方程式（x＋y＝9 など）を2元1次方程式といい、解はたくさんあります。2x＋5y＝20 の0以上の整数の解は、y に 0、1、2、… を順に入れて調べます（y が奇数だと 2x が奇数になり、x が整数になりません）。y＝5 以上は x が負になるので、(x, y)＝(10, 0)、(5, 2)、(0, 4) の3組です。

基本連立方程式 x＋2y＝8 …①、3x−y＝3 …② の解を、次のア〜エから選びなさい。ア x＝4、y＝2　イ x＝2、y＝3　ウ x＝1、y＝2　エ x＝0、y＝4

選択肢	①に入れる	②に入れる
ア x＝4、y＝2	4＋2×2＝8（成り立つ）	3×4−2＝10（3にならない）
イ x＝2、y＝3	2＋2×3＝8（成り立つ）	3×2−3＝3（成り立つ）

アは②が成り立ちません。ウは①が 1＋4＝5、エは②が 0−4＝−4 で成り立たないので、解はイです。

答え：イ

加減法：式をたすかひくかして、1つの文字を消す

📄 プリント3・4ページ

ひいて消す：x の係数が同じ4なので、①−② で x を消します。

たして消す：5x＋y＝17 …①、2x−y＝4 …② は、y の係数が1と −1 なので ①＋② で y を消します。

ひく式の右辺が負の数のとき：x＋4y＝7 …①、x−2y＝−5 …② の ①−② では、右辺は 7−(−5)＝7＋5＝12 になります。6y＝12 から y＝2、①に代入して x＋8＝7 より x＝−1 です。

係数がそろっていないとき：片方の式だけ何倍かすれば、そろうことがあります。x＋y＝9 …①、3x＋2y＝22 …② は、①×2 で y の係数を2にそろえます。

どちらの式も何倍かしないとそろわないときは、両方に数をかけて最小公倍数にそろえます。3x＋4y＝2 …①、2x−3y＝7 …② は、y の係数4と3を12にするので、①×3 と ②×4 をたします。

求めた x、y は、もとの2つの式の両方に入れて確かめます。

基本2x＋3y＝0 …①、2x−y＝8 …② を、加減法で解きなさい。

(2x＋3y)−(2x−y)＝0−8	①−②（x の係数が同じ2で、符号も同じ）
4y＝−8	3y−(−y)＝4y
y＝−2	両辺を4でわる
2x−(−2)＝8	②に y＝−2 を代入
2x＝6	2x＋2＝8 から
x＝3、y＝−2	両辺を2でわる

確かめ：①は 2×3＋3×(−2)＝0、②は 2×3−(−2)＝8 で、両方成り立ちます。

標準2x＋3y＝5 …①、5x−2y＝−16 …② を、加減法で解きなさい。

y の係数3と −2 の絶対値を、最小公倍数の6にそろえます（①×2、②×3）。符号がちがうので、たして消します。

4x＋6y＝10	①×2
15x−6y＝−48	②×3
19x＝−38	①×2＋②×3
x＝−2	両辺を19でわる
2×(−2)＋3y＝5	①に x＝−2 を代入
3y＝9	−4を移項
x＝−2、y＝3	両辺を3でわる

確かめ：①は 2×(−2)＋3×3＝5、②は 5×(−2)−2×3＝−16 で、両方成り立ちます。

代入法と、加減法との使い分け

📄 プリント5ページ

y＝… の形：y＝2x−9 …①、3x＋2y＝10 …② は、①を②の y に代入します。

x＝… の形：x＝2y＋3 …①、3x−4y＝13 …② は、①を②の x に代入して 3(2y＋3)−4y＝13、6y＋9−4y＝13、2y＝4 より y＝2 です。①に代入して x＝2×2＋3＝7 となり、解は x＝7、y＝2 です。

変形してから代入する：x＋3y＝5 …①、5x−2y＝8 …② は、①を x について解いて x＝5−3y とし、②に代入します。

y＝… が2つあるとき：y＝3x−8 …①、y＝−x＋4 …② は、y が同じなので右辺どうしを等しくして 3x−8＝−x＋4、4x＝12、x＝3 です。①に代入して y＝3×3−8＝1 になります。

基本y＝2x＋1 …①、y＝−x＋7 …② を解きなさい。

2x＋1＝−x＋7	y が同じなので右辺どうしを等しくする
3x＝6	−x を移項、1を移項
x＝2	両辺を3でわる
x＝2、y＝5	①に代入して y＝2×2＋1

確かめ：②に入れると −2＋7＝5 で、y＝5 と合います。

標準x＝3y−1 …①、2x＋5y＝9 …② を解きなさい。

2(3y−1)＋5y＝9	①を②に代入。かっこをつける
6y−2＋5y＝9	かっこをはずす
11y＝11	−2を移項
y＝1	両辺を11でわる
x＝3×1−1	①に代入
x＝2、y＝1	解

確かめ：②に入れると 2×2＋5×1＝9 で、成り立ちます。

かっこ・小数・分数のある連立方程式

📄 プリント6・7ページ

かっこのある式：3(x＋2y)−4y＝13 …①、x＋y＝5 …② は、①のかっこをはずして 3x＋6y−4y＝13、まとめて 3x＋2y＝13 …①′ にします。

小数のある式：0.2x＋0.3y＝1.7 …①、x−y＝−4 …② は、①を10倍して 2x＋3y＝17 …①′ にします（右辺の 1.7 も17にします）。

小数第2位まである式は100倍します。たとえば 0.04x＋0.05y＝0.42 は 4x＋5y＝42 です。小数点の下の桁がいちばん多い項に合わせて、10か100をかけます。

分数のある式：式の計算（x＋y2＋x−y3 など）は方程式ではないので分母を消せませんでしたが、連立方程式の式は等式なので、両辺に同じ数をかけて分母をはらえます。x2＋y3＝3 …①、x−y＝1 …② の ① は、分母2と3の最小公倍数6を右辺の3にもかけます。

分子が多項式のとき：x−12−y3＝1 …①、x＋y＝8 …② の ① に6をかけると、3(x−1)−2y＝6 のように分子にかっこをつけます。かっこをはずして 3x−2y＝9 …①′ とし、②×2 の 2x＋2y＝16 とたすと 5x＝25、x＝5 です。②に代入して 5＋y＝8 より、解は x＝5、y＝3 です。

標準0.4x−0.3y＝0.8 …①、2x−y＝6 …② を解きなさい。

4x−3y＝8	①×10（①′）
6x−3y＝18	②×3
2x＝10	②×3−①′。右辺は 18−8＝10
x＝5	両辺を2でわる
2×5−y＝6	②に代入
x＝5、y＝4	−y＝−4

確かめ：①は 0.4×5−0.3×4＝2−1.2＝0.8、②は 2×5−4＝6 で、両方成り立ちます。

標準x＋23＋y2＝3 …①、x−y＝2 …② を解きなさい。

6×x＋23＋6×y2＝6×3	①の両辺に6をかける。分子にかっこをつける
2(x＋2)＋3y＝18	約分する
2x＋3y＝14	かっこをはずして、4を移項（①′）
3x−3y＝6	②×3
5x＝20	①′＋②×3
x＝4	両辺を5でわる
x＝4、y＝2	②に代入して 4−y＝2

確かめ：①は 4＋23＋22＝2＋1＝3、②は 4−2＝2 で、両方成り立ちます。

A＝B＝C の形と、解から係数を求める問題

📄 プリント8ページ

A＝B＝C の形：3x＋y＝x−y＝4 は、4が数なので「3x＋y＝4 …①」と「x−y＝4 …②」の組にします。

確かめ：3x＋y は 3×2＋(−2)＝4、x−y は 2−(−2)＝4 で、どちらも4です。「A＝B と B＝C」「A＝B と A＝C」「A＝C と B＝C」のどの組にしても、同じ解になります。

解から係数を求める：連立方程式 ax＋by＝10 …①、bx−ay＝5 …② の解が x＝2、y＝1 のとき、a、b の値を求めます。x、y は分かっているので、2と1を代入すると、a、b の連立方程式になります。

確かめ：3×2＋4×1＝10、4×2−3×1＝5 で、どちらの式も成り立ちます。

標準2x＋y＝3x−2y＝7 を解きなさい。

7が数なので、「2x＋y＝7 …①」と「3x−2y＝7 …②」の組にします。

4x＋2y＝14	①×2
3x−2y＝7	②
7x＝21	①×2＋②
x＝3	両辺を7でわる
2×3＋y＝7	①に x＝3 を代入
x＝3、y＝1	y＝7−6

確かめ：2x＋y は 2×3＋1＝7、3x−2y は 3×3−2×1＝7 で、どちらも7です。

発展連立方程式 ax＋by＝−4 …①、bx−ay＝7 …② の解が x＝1、y＝−2 のとき、a、b の値を求めなさい。

負の数を代入するので、−2にはかっこをつけます（b×(−2)、a×(−2)）。

a−2b＝−4	①に x＝1、y＝−2 を代入
b＋2a＝7	②に代入
2a＋b＝7	a、b の順に並べる
a−2b＝−4	1行目
4a＋2b＝14	2行目×2
5a＝10	1行目＋3行目
a＝2	両辺を5でわる
2×2＋b＝7	a＝2 を2行目に代入
a＝2、b＝3	b＝7−4

確かめ：2×1＋3×(−2)＝−4、3×1−2×(−2)＝3＋4＝7 で、どちらの式も成り立ちます。

文章題の解き方：代金・個数と、余り・不足

📄 プリント9・10ページ

個数と代金：1個120円のプリンと1個250円のケーキを合わせて14個買ったら、代金は2200円でした。プリンを x 個、ケーキを y 個とし、個数と代金の2種類に分けて表にすると、式が2つできます。

個数の式 x＋y＝14 …① と、代金の式 120x＋250y＝2200 …② で、連立方程式ができます。

x、y は個数なので自然数で、この解は問題に合っています。答えはプリン10個、ケーキ4個です（確かめ：120×10＋250×4＝2200）。

解が問題に合うか確かめる：代金が2250円だったら、②は 120x＋250y＝2250 になり、130y＝570、y＝5713 となって、x＝12513 です。個数は自然数でなければならないのに、解は整数になりません。この解は問題に合っていないので、この代金になる買い方は無いと答えます（個数・人数は自然数、長さ・道のりは正の数です）。

2回の買い物：鉛筆3本とノート2冊を買うと540円、また、鉛筆5本とノート4冊を買うと1000円でした。鉛筆1本を x 円、ノート1冊を y 円とすると、3x＋2y＝540 …①、5x＋4y＝1000 …② です。①×2 で 6x＋4y＝1080 とし、①×2−② をすると x＝80、①に代入して y＝150 になります。

余る・たりない：子どもに鉛筆を配ります。1人に3本ずつ配ると10本余り、4本ずつ配ると4本たりません。子どもを x 人、鉛筆を y 本とします。余るときは、鉛筆は配った本数より余った分だけ多いので、たします。たりないときは、配りたい本数より不足の分だけ少ないので、ひきます。

人数も本数も自然数で、この解は問題に合っています。答えは子ども14人、鉛筆52本です。

標準1個80円のあめと1個150円のチョコを合わせて12個買ったところ、代金は1310円でした。あめとチョコを、それぞれ何個買いましたか。

あめを x 個、チョコを y 個とします。個数の式 x＋y＝12 …①、代金の式 80x＋150y＝1310 …② です。

80x＋80y＝960	①×80
70y＝350	②−①×80
y＝5	両辺を70でわる
x＋5＝12	①に代入
x＝7、y＝5	7＝12−5

確かめ：80×7＋150×5＝560＋750＝1310 で、個数も自然数です。

答え：あめ7個、チョコ5個

標準子どもにシールを配ります。1人に4枚ずつ配ると7枚余り、6枚ずつ配ると3枚たりません。子どもの人数とシールの枚数を求めなさい。

子どもを x 人、シールを y 枚とします。余るときはたし、たりないときはひきます。

y＝4x＋7	4枚ずつ配ると7枚余る…①
y＝6x−3	6枚ずつ配ると3枚たりない…②
4x＋7＝6x−3	y が同じなので、右辺どうしを等しくする
−2x＝−10	6x と 7 を移項
x＝5	両辺を−2でわる
x＝5、y＝27	①に代入して y＝4×5＋7

確かめ：6×5−3＝27 で、②とも合います。

答え：子ども5人、シール27枚

速さの問題：道のりの式と、時間の式

📄 プリント11ページ

道のりを x、y にする：家から2400m はなれた駅まで、はじめは分速60m で歩き、途中から分速150m で走ったら、全部で25分かかりました。歩いた道のりを x m、走った道のりを y m とします。

道のりの式 x＋y＝2400 …① と、時間の式 x60＋y150＝25 …② ができます。② は、60と150の最小公倍数300を両辺にかけて分母をはらいます。

確かめは 900÷60＋1500÷150＝15＋10＝25 で、道のりは正の数なので、この解は問題に合っています。答えは歩いた道のり900m、走った道のり1500mです。

時間を x、y にする：歩いた時間を x 分、走った時間を y 分とすると、分数のない式になります。時間の式 x＋y＝25 …①、道のりの式 60x＋150y＝2400 …② です。

問われているのは道のりなので、歩いた道のりは 60×15＝900（m）、走った道のりは 150×10＝1500（m）です。

標準家から27km はなれた公園まで、はじめは時速6km で走り、途中から時速15km の自転車で進んだところ、全部で3時間かかりました。走った道のりと自転車で進んだ道のりを求めなさい。

走った道のりを x km、自転車で進んだ道のりを y km とします。道のりの式 x＋y＝27 …①、時間の式 x6＋y15＝3 …② です。

5x＋2y＝90	②×30 で分母をはらう（②′）
2x＋2y＝54	①×2
3x＝36	②′−①×2
x＝12	両辺を3でわる
12＋y＝27	①に代入
x＝12、y＝15	y＝27−12

確かめ：12÷6＋15÷15＝2＋1＝3（時間）で、問題に合っています。

答え：走った道のり12km、自転車で進んだ道のり15km

割合の問題：もとにする量を x、y にする

📄 プリント12ページ

たとえば、10％増は 1＋10100＝1.1 倍、5％減は 1−5100＝0.95 倍、20％引きは 1−20100＝0.8 倍です。

増えた分・減った分：ある中学校の昨年の生徒数は480人でした。今年は男子が10％増え、女子が5％減ったので、全体で15人増えました。今年の男子と女子の人数を求めます。昨年の男子を x 人、女子を y 人とします。

昨年の合計の式 x＋y＝480 …① と、増減の式 10100x−5100y＝15 …② ができます（全体で15人減ったときは、右辺を −15 にします）。② は 10100＝110、5100＝120 なので、20をかけて分母をはらいます。

今年は、男子が 260×1.1＝286（人）、女子が 220×0.95＝209（人）です。確かめは 286＋209＝495 で、480人より15人多くなっています。

割引：Tシャツとぼうしの定価の合計は4000円です。Tシャツを定価の20％引き、ぼうしを定価の30％引きで買ったので、代金の合計は3050円でした。定価を x 円、y 円とすると、20％引きは0.8倍、30％引きは0.7倍なので、x＋y＝4000 …①、0.8x＋0.7y＝3050 …② です。

確かめ：0.8×2500＋0.7×1500＝2000＋1050＝3050 で、問題に合っています。

標準昨年の公園の入場者は、男性と女性を合わせて400人でした。今年は、男性が20％増え、女性が10％減って、全体で35人増えました。今年の男性と女性の入場者は、それぞれ何人ですか。

昨年の男性を x 人、女性を y 人とします。x＋y＝400 …①、20100x−10100y＝35 …② です。

2x−y＝350	②×10（②′）
3x＝750	①＋②′
x＝250	両辺を3でわる
250＋y＝400	①に代入
x＝250、y＝150	昨年の人数

今年は、男性が 250×1.2＝300（人）、女性が 150×0.9＝135（人）です。確かめは 300＋135＝435 で、400人より35人多くなっています。

答え：男性300人、女性135人

数の問題：2けたの自然数と、計算の手順

📄 プリント13ページ

2けたの自然数：十の位の数と一の位の数の和は13です。十の位と一の位を入れかえた数は、もとの数より45大きくなります。もとの数を求めます。

求めるのは x、y ではなくもとの数です。10×4＋9＝49。確かめは 94−49＝45 で、この解は問題に合っています。答えは49です。

計算の手順：【計算P】は「初めの数を3倍して、7をひく」、【計算Q】は「初めの数から3をひいて、2倍する」とします。初めの数を x として【計算P】で計算すると結果は y になり、初めの数を y として【計算Q】で計算すると結果は x にもどりました。x、y を求めます。P は 3x−7、Q は 2(y−3) と式にします（3段なら続けて、「3をひいて2倍し、1をたす」は 2(x−3)＋1）。

確かめ：P は 4 → 12 → 5、Q は 5 → 2 → 4 で、この解は問題に合っています。

標準十の位の数と一の位の数の和が11の、2けたの自然数があります。十の位と一の位を入れかえた数は、もとの数より27小さくなります。もとの数を求めなさい。

十の位を x、一の位を y とします。入れかえた数が小さいので、「もとの数−入れかえた数＝27」と式にします。

x＋y＝11	十の位と一の位の和…①
(10x＋y)−(10y＋x)＝27	もとの数−入れかえた数…②
9x−9y＝27	②のかっこをはずして、まとめる
x−y＝3	両辺を9でわる
2x＝14	①＋(x−y＝3)
x＝7、y＝4	y＝11−7

もとの数は 10×7＋4＝74 です。確かめは 74−47＝27 で、7＋4＝11 とも合います。

答え：74

発展【計算A】は「初めの数を4倍して、4をひく」、【計算B】は「初めの数から7をひいて、3倍する」です。初めの数を x として【計算A】で計算すると結果は y になり、初めの数を y として【計算B】で計算すると結果は x にもどりました。x、y の値を求めなさい。

手順の順に、かっこをつけて式にします。A は 4x−4、B は 3(y−7) です。

4x−4＝y	【計算A】…①
3(y−7)＝x	【計算B】…②
3((4x−4)−7)＝x	①の y＝4x−4 を②に代入
12x−33＝x	かっこをはずして、まとめる
11x＝33	−x と −33 を移項
x＝3	両辺を11でわる
x＝3、y＝8	①に代入して y＝4×3−4

確かめ：A は 3 → 12 → 8、B は 8 → 1 → 3 で、この解は問題に合っています。

まとめ

連立方程式は、文字が2つなので式も2つ作り、どちらの式も成り立たせる x、y の組を求めます。解き方は、係数の絶対値をそろえて式をたすかひく加減法と、y＝… や x＝… の形の式を代入する代入法で、式の形で使い分けます。かっこ・小数・分数があるときは、先に ax＋by＝c の形に整理し、右辺にもかけるのを忘れません。文章題は、何を x、y にするかを書き、表に整理して2つの式を作り、解が問題に合うかを確かめます。プリントの確認問題で、加減法と代入法の計算を手を動かして練習してみてください。