【中3数学】関数y=ax²の要点まとめ｜変域・変化の割合・交点の求め方

中3数学「関数 y＝ax²」を、グラフと例題で1つずつ確かめるページです。この単元は「x が2倍、3倍なら、y は4倍、9倍」と「変化の割合は区間で変わる（2点を通る直線の傾き）」の2つが土台です。どの見出しも「答え → 図 → 理由 → 解き方」の順に書いています。紙に書いて練習したい人は、下の無料プリントを使ってください。

関数 y＝ax² とは？ y は x の2乗に比例する

📄 プリント1・2ページ

ジェットコースターの下り：斜面を下り始めて x 秒間に y m 進むとき、表は次のようになります。増え方が一定でないので、比例や1次関数の式では表せません。

y は、いつも x² の2倍なので y＝2x² と表せます。6秒後は 2×6²＝72（m）です。「4秒で32m だから比例」と考えて 32÷4×6＝48（m）とすると、実際とずれます。

比例定数の読み方：y＝−3x² の比例定数は −3、y＝x²4 は y＝14x² と同じなので比例定数は 14 です。y＝4x² のように x² が分母にある式は、y＝ax² の形ではありません。x が負の数でも、(−2)²＝4 なので、y＝2x² は x＝−2 でも x＝2 でも y＝8 です。

基本y＝3x² で、x の値が1から4に変わると、y の値は何倍になりますか。

x が4倍なので、y は 4²＝16倍です（y は3から48）。

答え：16倍

y＝ax² の式の求め方：場面から・1組の x、y から

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解き方：① y＝ax² と書く → ② x、y の値を代入する（負の数は (−4)² のようにかっこをつける）→ ③ a についての方程式を解く → ④ y＝□x² の形で答える。

y は x の2乗に比例し、x＝−4 のとき y＝48 です。

この式で x＝5 のときは 3×5²＝75 です。反対に y＝27 のときは、3x²＝27、x²＝9 なので、x＝3 と x＝−3 の2つあります。

標準y は x の2乗に比例し、x＝3 のとき y＝−18 です。y を x の式で表し、x＝−2 のときの y の値を求めなさい。

−18＝a×3²	y＝ax² に代入
−18＝9a	3²＝9
a＝−2	両辺を9でわる
y＝−2x²	式

−2×(−2)²	x＝−2 を代入
＝−2×4	(−2)²＝4
＝−8	y の値

y＝x² のグラフ：なめらかな曲線

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y＝x² のグラフの特徴：①原点を通る（原点の近くは平らに近く、とがっていない）②y軸について対称（x と −x で y が同じ）③x軸より下には出ない ④x＜0 では右へ行くほど下がり、x＞0 では右へ行くほど上がる。

基本y＝x² のグラフについて、正しいものを選びなさい。ア 原点を通る直線　イ x軸について対称　ウ y軸について対称

答え：ウ

a とグラフの形：放物線の開き方

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同じ x の値で、y＝2x² の y は y＝x² の2倍、y＝12x² の y は半分、y＝−2x² の y は符号が反対です。x＝2 のとき、y＝x² は4、y＝2x² は8、y＝12x² は2 です。

放物線のことば：放物線は線対称な図形で、対称の軸を軸、軸と放物線の交わる点を頂点といいます。y＝ax² のグラフの軸は y軸、頂点は原点です。

開き方のくらべ方：y＝12x²、y＝3x²、y＝−2x²、y＝−14x² の a の絶対値は 12、3、2、14 なので、開き方が小さい順（絶対値が大きい順）に y＝3x²、y＝−2x²、y＝12x²、y＝−14x² です。

標準次の関数のうち、グラフが下に開き、開き方がいちばん小さいものを選びなさい。ア y＝4x²　イ y＝−x²　ウ y＝−5x²　エ y＝−13x²

下に開くのは a＜0 のイ・ウ・エ。そのうち a の絶対値がいちばん大きいのは −5 です。

答え：ウ

放物線のかき方と、グラフから式を求める方法

📄 プリント6ページ

y＝12x² は、y が整数になる x＝−4、−2、0、2、4 を代入します（a が分数なら、y が整数になる x を選ぶ）。

右のグラフは点 A(2, −2) を通るので、y＝ax² に代入します。

基本放物線 y＝ax² が点 (−3, 18) を通るとき、a の値を求めなさい。

18＝a×(−3)²	(−3, 18) を代入
18＝9a	(−3)²＝9
a＝2	両辺を9でわる

変化の割合：y＝ax² では区間で変わる

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値の増え方・減り方：y＝x²（a＞0）は、x＜0 では x が増えると y は減り、x＞0 では x が増えると y も増えます。y＝−x²（a＜0）はその反対です。

x が1から3、3から5 のとき、y＝2x はどちらも変化の割合が2（一定）ですが、y＝2x² は次のように区間で変わります。

標準関数 y＝−x² で、x の値が −4 から −1 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

x＝−4 のとき y＝−16、x＝−1 のとき y＝−1 です。

−1−(−16)−1−(−4)	yの増加量xの増加量
＝153
＝5	変化の割合

変化の割合＝2点を通る直線の傾き、平均の速さ

📄 プリント8ページ

y＝x² で x が1から3まで増加するときの変化の割合は 9−13−1＝4 で、直線 AB の傾きも4です。x が −2 から 1 までなら 1−41−(−2)＝−1 で、直線 CD の傾きも −1 です。直線 CD の式は、傾きが −1 なので y＝−x＋b とおき、D(1, 1) を代入して 1＝−1＋b、b＝2 より y＝−x＋2 です。

平均の速さ：平均の速さ＝進んだ距離かかった時間 です。ジェットコースターの下り（y＝2x²）で、1秒後から3秒後までの平均の速さを求めます。

2秒後から4秒後までは 32−84−2＝12 で秒速12m。あとの区間ほど平均の速さが大きいので、だんだん速くなっています。

標準ボールが斜面を転がり始めてから x 秒間に転がる距離を y m とすると、y＝3x² の関係があります。2秒後から5秒後までの平均の速さを求めなさい。

3×5²−3×2²5−2	進んだ距離÷かかった時間
＝633	75−12＝63（m）
＝21	秒速21m

y の変域の求め方：x の変域に0が入るか

📄 プリント9ページ

解き方：① グラフを簡単にかき、x の変域のはしに縦の線をひく → ② はしの x での y を計算する → ③ x の変域に0が入るなら、y＝0 も入れる → ④ 小さい y ≦ y ≦ 大きい y と書く（＜ のはしは ＜ のまま）。

標準関数 y＝12x² で、x の変域が −4≦x≦2 のときの y の変域を求めなさい。

x＝−4 のとき y＝12×16＝8、x＝2 のとき y＝12×4＝2。x の変域に0が入るので、いちばん小さい y は0です。

答え：0≦y≦8

比例定数 a の求め方：変域・変化の割合・座標から

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① y の変域から：y＝ax² で、x の変域が −2≦x≦4 のとき、y の変域が −8≦y≦0 です。y のいちばん大きい値が0なので下に開き（a＜0）、原点から遠い x＝4 のとき y＝−8 になります。

② 変化の割合から：y＝ax² で、x が1から3まで増加するときの変化の割合が8のとき、y は a から 9a に増えるので、9a−a3−1＝4a＝8、a＝2 です。

③ 点の座標を a で表す：y＝ax² 上で x座標が2の点は (2, a×2²)＝(2, 4a) です。この点と y軸について対称な点は (−2, 4a) です。

発展y＝ax²（a＞0）のグラフ上に、x座標が3の点 P をとり、P と y軸について対称な点を Q とします。原点を O とする △OPQ の面積が27のとき、a の値を求めなさい。

P(3, 9a)、Q(−3, 9a) なので、底辺 PQ＝3−(−3)＝6、高さは P、Q の y座標の 9a です。

12×6×9a＝27	三角形の面積の式
27a＝27	左辺を計算
a＝1	a＞0 に合う

y＝ax² とみなす：ブレーキの跡から速さを求める

📄 プリント11ページ

yx² が一定なので、y＝1200x² とみなします。ブレーキの跡が50m なら、y＝50 を代入します。

標準上の表で、速さが時速120km のとき、ブレーキの跡は何m になると考えられますか。

1200×120²	y＝1200x² に x＝120 を代入
＝14400200
＝72	72m

いつ追いつく？ 2つのグラフの交点を読む

📄 プリント12ページ

14x²（放物線）と、同時に駅の前を通った自転車 y＝5x（直線）のグラフ。2つは P(20, 100) で交わる” font-family=”inherit” fill-rule=”nonzero” width=”291.1″ height=”165″ viewBox=”0 -1 291.1 165″ font-family=”Yu Gothic, Meiryo, sans-serif”>x（秒）y（m）O481216202428255075100125150175200225y＝14x²y＝5xP(20, 100)

10秒後：電車は 14×10²＝25（m）、自転車は 5×10＝50（m）で、自転車が 50−25＝25（m）前にいます。

追いつくとき：2つの式の y を＝で結びます。

20秒後からは電車のグラフが上になり、電車が前に出ます（24秒後は電車144m、自転車120m）。

標準上の電車と自転車で、出発してから8秒後、どちらが何m 前にいますか。

電車は 14×8²＝16（m）、自転車は 5×8＝40（m）です。

答え：自転車が24m 前

放物線と直線の交点と、2点を通る直線の式

📄 プリント13ページ

y座標は (−3)²＝9、1²＝1 なので、交点は A(−3, 9) と B(1, 1) です。

12x² のグラフ上の2点 A(−2, 2)、B(4, 8) と、2点を通る直線” font-family=”inherit” fill-rule=”nonzero” width=”186.8″ height=”193″ viewBox=”-8.8 -1 186.8 193″ font-family=”Yu Gothic, Meiryo, sans-serif”>xyO−224612345678910y＝12x²A(−2, 2)B(4, 8)

2点を通る直線の式：y＝12x² 上で、x座標が −2 と 4 の点は A(−2, 2)、B(4, 8) です。傾きは 8−24−(−2)＝1 なので y＝x＋b とおき、A を代入して 2＝−2＋b、b＝4。直線 AB は y＝x＋4 で、切片4が y軸との交点の y座標です。

標準放物線 y＝ax² と直線 y＝2x＋3 が、x座標が3の点で交わっています。a の値を求めなさい。

交点は直線上にもあるので、y＝2×3＋3＝9 より、交点は (3, 9) です。

9＝a×3²	(3, 9) を y＝ax² に代入
9＝9a	3²＝9
a＝1

放物線と三角形の面積：y軸で2つに分ける

📄 プリント14ページ

12x² 上の A(−2, 2)、B(4, 8) と原点 O でできる △OAB を、直線 AB と y軸の交点 C で2つに分けた図” font-family=”inherit” fill-rule=”nonzero” width=”178″ height=”193″ viewBox=”0 -1 178 193″ font-family=”Yu Gothic, Meiryo, sans-serif”>xyO−224612345678910y＝12x²ABC

A(−2, 2)、B(4, 8)、直線 AB と y軸の交点 C(0, 4) のとき、OC＝4、A までの高さ2、B までの高さ4 です。

辺が y軸に平行なとき：2点の x座標が等しいときは、底辺はその2点の y座標の差、高さは残りの頂点からその辺までの横の長さです。P(4, 11)、Q(4, 2) と原点 O の △OPQ は、底辺 PQ＝11−2＝9、高さ4 で、面積は 12×9×4＝18 です。

点の座標を文字で表す：放物線上の動く点は、x座標を t として (t, at²) と表し、面積の条件から t の方程式をつくります。解が2つ出たら、問題の条件（t＞0 など）で1つにしぼります。

発展放物線 y＝x² 上に、点 A(−2, 4) と点 P(t, t²)（t＞0）があります。直線 AP と y軸の交点を C とすると、C の座標は (0, 2t) になります。原点を O とする △OAP の面積が15のとき、t の値を求めなさい。

△OAP を y軸で △OAC と △OPC に分けます。底辺 OC＝2t、高さは A までが2、P までが t です。

12×2t×2＋12×2t×t＝15	△OAC＋△OPC
t²＋2t−15＝0	整理して移項
(t＋5)(t−3)＝0	因数分解
t＝−5、3	t＞0 なので3だけ
t＝3	P(3, 9)

確かめ：直線 AP の傾きは 9−43−(−2)＝1 で y＝x＋6、C(0, 6)。12×6×2＋12×6×3＝6＋9＝15 で合っています。

いろいろな関数：倍々に増える関数・階段の形のグラフ

📄 プリント15ページ

倍々に増える関数：x が1増えるごとに y は2倍になります。y＝x² とはちがい、x＝5 では x² が25なのに、y は32です。6回で64枚、7回で128枚なので、100枚をこえるのは7回折ったときです。

階段の形：駐車場の料金が、0＜x≦1 なら200円、1＜x≦2 なら400円、2＜x≦3 なら600円のとき、ちょうど2時間なら400円、2時間10分なら600円です。反対に、y＝400 になる x は 1＜x≦2 のどれでもよく、1つに決まりません。

基本上の駐車場で、駐車時間がちょうど1時間のときと、1時間30分のときの料金を答えなさい。

答え：ちょうど1時間は200円、1時間30分は400円

まとめ

y＝ax² は「y は x の2乗に比例する」関数で、x が2倍、3倍なら y は4倍、9倍になります。グラフは原点を頂点とする放物線で、a＞0 なら上に、a＜0 なら下に開き、a の絶対値が大きいほど開き方は小さくなります。変化の割合は区間で変わり、2点を通る直線の傾きと同じです。y の変域は x の変域に0が入るかを先に見て、交点は2つの式の y を＝で結び、三角形の面積は y軸で2つに分けて求めます。プリントの確認問題で、変域と変化の割合の計算を手を動かして練習してみてください。