【中3数学】相似な図形の要点まとめ｜相似条件・線分の比・面積比のコツ

中3数学「相似な図形」を、図と例題で1つずつ確かめるページです。この単元は「相似な図形では、対応する辺の比がすべて等しい」と「相似比が m：n なら、面積比は m²：n²、体積比は m³：n³」の2つが土台です。どの見出しも「答え → 図 → 理由 → 解き方」の順に書いています。紙に書いて練習したい人は、下の無料プリントを使ってください。

相似とは？ 形が同じで大きさがちがう図形

📄 プリント1・2ページ

地図を広げると：タブレットの地図を2本の指で広げると、形を変えずに大きくなります。指の間の点 O から駅 A・学校 B・公園 C までの距離は、どれも同じ倍率（2倍）になります。OA が 3cm なら広げたあとは 3×2＝6（cm）、OB が 4cm なら 4×2＝8（cm）です。小学校の拡大図・縮図では、ものさしではかって長さを調べました。中3では、対応する辺の比を使って計算で長さを求めます。

記号と対応：相似は記号 ∽ を使い、対応する頂点を同じ順に書きます（△ABC∽△DEF）。このとき A↔D、B↔E、C↔F が対応し、∠A＝∠D、∠B＝∠E、∠C＝∠F です。中2で学んだ合同な図形は、相似比が 1：1 の相似な図形です。

AB：DE＝BC：EF＝CA：FD の値は 4：6＝5：7.5＝6：9＝2：3 で、相似比は 2：3 です。

基本△ABC∽△DEF で、AB＝6cm、DE＝9cm、BC＝10cm のとき、相似比を最も簡単な整数の比で表し、EF の長さを求めなさい。

対応する辺 AB と DE から、相似比は 6：9＝2：3 です。EF を x cm とします。

10：x＝2：3	BC：EF＝相似比
2x＝30	外側の積＝内側の積（10×3）
x＝15	両辺を2でわる

答え：相似比 2：3、EF＝15cm（確かめ：10：15＝2：3）

相似の位置：1つの点から同じ倍率でのばす

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方眼でかく手順（O を中心に2倍に拡大）：① O から各頂点 A、B、C を通る直線（半直線）をひく → ② OA′ が OA の2倍になる点 A′ をとる（方眼では、O から A まで右に○マス・上に○マスを、2倍にして数える）→ ③ B′、C′ も同じようにとり、A′、B′、C′ を結ぶ。

図では、O から A までは右に1・上に2なので、A′ は O から右に 1×2＝2・上に 2×2＝4 の点です。B は右に3・上に1なので、B′ は右に 3×2＝6・上に 1×2＝2 の点になります。

O が図形の中にあっても、OA′＝2OA です。O をはさんで反対側にもかけます。O からの距離の比 OA′：OA が相似比で、辺の比 A′B′：AB もこの比になります（12 に縮小なら OA′＝12OA）。

基本方眼で、点 P は O から右に2マス・上に3マスの所にあります。O を中心に P を3倍に拡大した点 P′ は、O からどこにありますか。

右に 2×3＝6（マス）、上に 3×3＝9（マス）です。

答え：O から右に6マス・上に9マス

標準方眼で、点 Q は O から右に1マス・上に2マスの所にあります。O を中心に、O をはさんで反対側に2倍にとった点 Q′ は、O からどこにありますか。

O をはさんで反対側なので、向きが反対（左・下）になります。左に 1×2＝2（マス）、下に 2×2＝4（マス）です。

答え：O から左に2マス・下に4マス（OQ′＝2OQ）

相似な図形の辺の長さ：比例式で求める

📄 プリント4ページ

求め方の手順：① 対応する頂点を、同じ順にそろえる → ② 対応する1組の辺から、相似比を求める → ③ 比例式をつくる → ④ 外側の積＝内側の積で解く。

対応する辺の比（例1）：四角形ABCD∽四角形EFGH（A↔E、B↔F、C↔G、D↔H）で、EH の長さ x を求めます。AB と EF が対応するので、相似比は 6：9＝2：3 です。

となり合う辺の比（例2）：△ABC∽△DEF なら AB：AC＝DE：DF も成り立ちます。AB＝8cm、AC＝6cm、DE＝12cm のとき DF を、2通りで求めます。どちらも同じ x になります。

標準△ABC∽△DEF で、AB＝9cm、AC＝12cm、DE＝6cm のとき、DF の長さを求めなさい。

9：6＝12：x	AB：DE＝AC：DF
9x＝72	外側の積＝内側の積（6×12）
x＝8	両辺を9でわる

答え：DF＝8cm（確かめ：AB：AC＝9：12＝3：4、DE：DF＝6：8＝3：4）

三角形の相似条件：3つのどれか1つ

📄 プリント5ページ

合同条件とくらべる：合同な三角形のかき方（3辺・2辺とその間の角・1辺とその両端の角）の辺の「長さ」を「比」にかえたものが相似条件です。1辺とその両端の角は、辺が要らなくなり「2組の角」になります。

③が「2組の角」だけでよいのは、三角形の内角の和が 180° なので、3つめの角も等しくなるからです。1組の辺の長さは要りません（大きさは決めなくてよい）。

どの条件で相似といえるか：

基本△ABC で AB＝6cm、BC＝9cm、∠B＝70°、△DEF で DE＝10cm、EF＝15cm、∠E＝70° です。相似といえるときは使える相似条件を答えなさい。

AB：DE＝6：10＝3：5、BC：EF＝9：15＝3：5 で比が等しく、∠B、∠E はそれぞれ AB と BC の間、DE と EF の間の角で等しいです。

答え：相似（2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい）

標準△ABC で ∠A＝50°、∠B＝60°、△DEF で ∠D＝50°、∠F＝70° です。2つの三角形は相似といえますか。いえるときは、頂点の順をそろえて ∽ で表しなさい。

△ABC の ∠C＝180°−50°−60°＝70° なので、∠A＝∠D、∠C＝∠F の2組の角が等しいです。残りの頂点 B と E が対応します（∠E＝180°−50°−70°＝60°＝∠B）。

答え：相似（2組の角）。△ABC∽△DEF

相似な三角形の見つけ方：等しい角に印をつける

📄 プリント6ページ

見つけやすい3つの型：

重なった形では、∠ACB＝∠ADE＝90°、∠A は共通なので △ABC∽△AED（2組の角）です。砂時計の形では、AB∥DC なので、対頂角 ∠APB＝∠DPC と錯角 ∠PAB＝∠PDC から △PAB∽△PDC です。直角の頂点から斜辺に垂線をひくと、△ABC∽△HBA∽△HAC になります。

向きが逆に重なった形：

左の図は、∠ABC＝∠ACD と共通な角 A から、△ACD∽△ABC（2組の角。A↔A、C↔B、D↔C）です。相似比は AC：AB＝12：16＝3：4 です。右の図は、AD：AC と AE：AB が 8：12＝6：9＝2：3 で、共通な角 A をはさむので、△ADE∽△ACB（2組の辺の比とその間の角）です。相似比は 2：3 です。

標準△ABC の辺 AB 上に点 D があり、∠ACD＝∠ABC です。AD＝4cm、AB＝9cm のとき、AC の長さを求めなさい。

∠A は共通で、∠ACD＝∠ABC なので、2組の角から △ACD∽△ABC です（A↔A、C↔B、D↔C）。対応する辺は AD と AC、AC と AB なので、AC を x cm とすると 4：x＝x：9 です。

4：x＝x：9	AD：AC＝AC：AB
x×x＝36	外側の積＝内側の積（4×9）
x＝6	6×6＝36 で、長さは正の数

答え：AC＝6cm（確かめ：4：6＝6：9＝2：3）

相似の証明の書き方：ひな型にあてはめる

📄 プリント7ページ

例1　平行線を使う証明（2組の角）：対角線 AC、BD の交点を E とします（AB∥DC）。

例2　辺の比と共通な角を使う証明（2組の辺の比とその間の角）：D は辺 AB 上、E は辺 AC 上にあります。AC＝6＋2＝8、AB＝4＋8＝12 です。

相似から長さを求める：例1で AB＝4cm、CD＝9cm、AE＝8cm のとき、CE＝x cm は次のようになります。

標準△ABC の辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、∠ADE＝∠ACB です。△ADE∽△ACB であることを証明しなさい。

△ADE と △ACB において	比べる2つの三角形
∠ADE＝∠ACB …①	仮定
∠DAE＝∠CAB …②	共通な角
△ADE∽△ACB	①、②より、2組の角がそれぞれ等しい

結論は、等しい角 ∠ADE と ∠ACB から D↔C、共通な角 A から A↔A、残りの E↔B なので、△ADE∽△ACB の順に書きます。

はかれない高さや距離：影と縮図を使う

📄 プリント8ページ

例1　影を使って高さを求める：棒の高さ 1.5m、棒の影 2m、ビルの影 30m のとき、ビルの高さ x を求めます。

例2　川の幅を求める：川の幅 AB を求めます。AB⊥BD、ED⊥BD で A、C、E は一直線上です。対頂角 ∠ACB＝∠ECD と直角から △ABC∽△EDC です。

例3　縮図をかいて、校舎の高さを求める：校舎から 20m はなれた地点で、目の高さ 1.5m から校舎の上のはしを見上げた角をはかり、縮尺1500の縮図をかきました（A′C′ は 2000cm÷500＝4cm）。B′C′ は 3cm なので、実際の長さは 3×500＝1500（cm）で 15m です。これは目の高さから上の部分なので、校舎の高さは 15＋1.5＝16.5（m）です。

1500 の縮図。A′C′＝4cm、B′C′＝3cm の直角三角形” font-family=”inherit” fill-rule=”nonzero” width=”181.7″ height=”136.6″ viewBox=”-24.1 -20.6 181.7 136.6″>A′C′B′4cm3cm

標準高さ 1.2m の棒の影が 1.6m のとき、同じ時刻に、電柱の影が 24m でした。電柱の高さを求めなさい。

x：24＝1.2：1.6	電柱の高さ：電柱の影＝棒の高さ：棒の影
1.6x＝28.8	外側の積＝内側の積（24×1.2）
x＝18	両辺を1.6でわる

答え：18m（確かめ：棒の高さと影の比 1.2：1.6＝3：4 で、24×34＝18）

発展鉄塔から 10m はなれた地点で、目の高さ 1.6m から鉄塔の先を見上げた角をはかり、縮尺1200の縮図をかきました。縮図で、目の高さから鉄塔の先までの高さは 6.5cm でした。鉄塔の高さを求めなさい。

縮図の 6.5cm を、縮尺をかけて実際の長さにもどします。

6.5×200	縮図の高さに縮尺をかける（cm）
＝1300	実際の長さ（1300cm＝13m）

これは目の高さから上の部分なので、目の高さを足して 13＋1.6＝14.6（m）です。

答え：14.6m（確かめ：10m は縮図で 1000÷200＝5cm。高さ 6.5cm の直角三角形の高さは 13m で、目の高さ 1.6m を足す）

測った値の誤差と有効数字：真の値の範囲

📄 プリント9ページ

誤差：真の値が 12.34cm の長さを、0.1cm の位まではかって 12.3cm になったとき、誤差は 12.3−12.34＝−0.04（cm）です。ふつう真の値は分からないので、真の値の範囲を考えます。

真の値の範囲：0.1cm の位まではかって 12.3cm になったのは、小数第2位を四捨五入した値です。12.3 と真の値の差はいちばん大きくても 12.3−12.25＝0.05 なので、誤差の絶対値は 0.05cm 以下です。

有効数字：ある距離の測定値が 2300m で、有効数字が 2、3、0 の3けたのときは 2.30×10³ m と表します（0 も有効数字なので消しません）。有効数字が 2、3 の2けたのときは 2.3×10³ m です。川の長さの測定値が 36200m で、有効数字が 3、6、2 の3けたのときは 3.62×10⁴ m です。下の 0、0 は位取りの 0 なので、有効数字ではありません。

基本ある長さを 0.1cm の位まではかって 7.8cm になりました（小数第2位を四捨五入した値）。真の値 a の範囲を、不等号を使って表しなさい。

7.8 より 0.05 小さい 7.75 はふくみ、0.05 大きい 7.85 はふくみません。

答え：7.75≦a＜7.85

標準ある道のりの測定値が 4700m で、有効数字が 4、7、0 の3けたのとき、この道のりを a×10ⁿ の形で表しなさい。有効数字が 4、7 の2けたのときはどう表しますか。

整数部分が1けたの数にして、10の累乗をかけます。3けたなら 0 も書き、2けたなら 0 は書きません。

答え：3けたは 4.70×10³ m、2けたは 4.7×10³ m

三角形と比の定理とその逆：平行なら辺の比が等しい

📄 プリント10・11ページ

罫線で紙のはしを3等分できるわけ：等間隔の罫線のノートに紙のはし AD を斜めに置き、A を1本目、D を4本目の罫線に合わせると、間の罫線との交点 B、C で AD が3等分されます。わけは、A を通る別の直線と罫線との交点を P、Q、R とすると、罫線は平行なので △ABP、△ACQ、△ADR は相似（∠A が共通・同位角）で、A から罫線までの高さが 1：2：3 なので相似比も 1：2：3、つまり AB＝BC＝CD だからです。

定理（平行ならば比が等しい）：△ADE∽△ABC（∠A は共通、同位角 ∠ADE＝∠ABC）なので、対応する辺の比が等しくなります。

図で確かめると、AD：AB＝AE：AC＝DE：BC は 3：9＝4：12＝6：18、AD：DB＝AE：EC は 3：6＝4：8 です。

ピラミッド型と蝶々型：D、E が辺の上にある形をピラミッド型、D、E が AB、AC を A の先へのばした所にある形（砂時計の形）を蝶々型といいます。DE∥BC なら、どちらも同じように成り立ちます。

定理の逆（比が等しければ平行）：辺の長さが分かっているときに、平行かどうかを調べられます。AD＝6cm、DB＝9cm、AE＝4cm、EC＝6cm のとき、AD：DB＝6：9＝2：3、AE：EC＝4：6＝2：3 で等しいので、DE∥BC といえます。AD＝3cm、DB＝5cm、AE＝4cm、EC＝7cm のときは、外側の積 3×7＝21 と内側の積 5×4＝20 がちがうので、DE∥BC とはいえません。

AD：AB＝DE：BC だけでは、平行といえない：D は AB の中点で、DE＝6cm、BC＝12cm とします。すると AD：AB＝DE：BC＝1：2 が成り立ちますが、E が AC の中点でなければ（AE：EC＝7：3 など）、DE は BC に平行ではありません。平行といえるのは、辺の上の2つの比が等しいときだけです。

標準△ABC の辺 AB、AC 上に点 D、E があり、DE∥BC です。AD＝6cm、DB＝3cm、DE＝10cm のとき、BC の長さを求めなさい。

AB＝6＋3＝9（cm）なので、AD：AB＝6：9＝2：3 です。BC を x cm とします。

10：x＝2：3	DE：BC＝AD：AB
2x＝30	外側の積＝内側の積（10×3）
x＝15	両辺を2でわる

答え：BC＝15cm（確かめ：DE：BC＝10：15＝2：3）

標準△ABC の辺 AB、AC 上に点 D、E があり、AD＝6cm、DB＝4cm、AE＝9cm、EC＝5cm です。DE∥BC といえますか。理由も答えなさい。

AD：DB＝6：4、AE：EC＝9：5 です。比例式の外側の積は 6×5＝30、内側の積は 4×9＝36 で、ちがいます。

答え：いえない（AD：DB と AE：EC が等しくないので、DE∥BC とはいえない）

中点連結定理：中点を結ぶと、平行で半分

📄 プリント12・13ページ

わけ：M、N は中点なので、AM：MB＝AN：NC＝1：1 です。三角形と比の定理の逆より、MN∥BC となります。また、三角形と比の定理より MN：BC＝AM：AB＝1：2 なので、MN は BC の半分になります。

三角形の各辺の中点を結んだ三角形の周：AB＝10cm、BC＝14cm、CA＝8cm のとき、各辺の中点 M、N、P を結んでできる △MNP の周の長さを求めます。MN は CA の半分、NP は AB の半分、PM は BC の半分です。

四角形の各辺の中点：形のちがう四角形でも、各辺の中点 E、F、G、H を結ぶと平行四辺形に見えます。

左の図で、四角形 EFGH が平行四辺形になる証明は、対角線 AC をひいて、2つの三角形で中点連結定理を使います。

証明から分かること：EF、HG は AC の半分、FG、EH は BD の半分です。したがって、EFGH の周の長さは対角線の和 AC＋BD です（AC＝12cm、BD＝8cm なら 12＋8＝20cm）。また、AC＝BD なら EF＝FG で EFGH はひし形、AC⊥BD なら EF⊥FG で EFGH は長方形になります。

基本△ABC の辺 AB、AC の中点を M、N とします。MN＝7cm のとき、BC の長さを求めなさい。

中点連結定理より MN＝12BC なので、BC は MN の2倍です。

答え：BC＝7×2＝14cm

標準△ABC で AB＝12cm、BC＝18cm、CA＝10cm です。各辺の中点を結んでできる三角形の周の長さを求めなさい。

122＋182＋102	ABの半分＋BCの半分＋CAの半分
＝6＋9＋5	それぞれ計算する
＝20	周の長さ

答え：20cm（確かめ：もとの周 12＋18＋10＝40 の半分）

発展四角形 ABCD の対角線が AC＝10cm、BD＝6cm です。各辺の中点を順に結んでできる四角形 EFGH の周の長さを求めなさい。

EF、HG は AC の半分で 5cm、FG、EH は BD の半分で 3cm です。

5＋3＋5＋3	EF＋FG＋GH＋HE
＝16	周の長さ（AC＋BD＝10＋6＝16 と同じ）

平行線と比の定理：3本以上の平行線にはさまれた比

📄 プリント14・15ページ

図では AB：BC＝DE：EF が、4：6＝3：4.5 となっています（どちらも 2：3）。

なぜ成り立つのか：A を通って DF に平行な直線をひき、m、n との交点を G、H とします。AG＝DE、GH＝EF です。△ACH で BG∥CH だから、三角形と比の定理より AB：BC＝AG：GH＝DE：EF になります。

線分の長さを求める：ℓ∥m∥n のとき、EF の長さ x を求めます。平行な直線にはさまれた線分どうしで比をつくります。

全体どうしで比をつくることもできます。AB：AC＝DE：DF は 8：20＝6：15 で、DF＝DE＋EF＝6＋9＝15cm と一致します。

線分 AB を3等分する作図：A から半直線をひき、コンパスで等間隔に3つの点 P、Q、R をとります。R と B を結び、P、Q を通り RB に平行な直線をひくと、AB との交点 E、F が3等分の点です。△ARB で PE∥QF∥RB なので、三角形と比の定理より AE：AF：AB＝AP：AQ：AR＝1：2：3 となり、AE＝EF＝FB です。

台形の中の平行な線分：AD∥BC の台形で、AE：EB＝2：1、EF∥BC のとき EF を求めます。対角線 AC と EF の交点を G とし、2つの三角形に分けます。△ABC で EG：BC＝AE：AB＝2：3 なので EG＝12×23＝8、△CAD で GF：AD＝CG：CA＝BE：BA＝1：3 なので GF＝6×13＝2。よって EF＝8＋2＝10（cm）です。

台形の2辺の中点を結ぶ線分：AB、DC の中点を E、F とします。AC の中点を G とすると、△ABC で EG∥BC、EG＝12BC、△CAD で GF∥AD、GF＝12AD です。E、G、F は一直線上にあり、EF＝12(AD＋BC)。AD＝6cm、BC＝14cm なら 12×(6＋14)＝10（cm）です。

基本ℓ∥m∥n で、2本の直線が ℓ、m、n と A、B、C および D、E、F で交わっています。AB＝6cm、BC＝9cm、DE＝8cm のとき、EF の長さを求めなさい。

6：9＝8：x	AB：BC＝DE：EF
6x＝72	外側の積＝内側の積（9×8）
x＝12	両辺を6でわる

答え：EF＝12cm（確かめ：6：9＝2：3、8：12＝2：3）

発展AD∥BC の台形 ABCD で、AD＝8cm、BC＝20cm です。辺 AB 上の点 E、辺 DC 上の点 F を、AE：EB＝1：3、EF∥BC となるようにとります。EF の長さを求めなさい。

対角線 AC と EF の交点を G とします。△ABC で EG：BC＝AE：AB＝1：4、△CAD で GF：AD＝CG：CA＝BE：BA＝3：4 です。

20×14＋8×34	EG＋GF
＝5＋6	それぞれ計算する
＝11	EF

答え：EF＝11cm（確かめ：(AD×EB＋BC×AE)÷AB＝(8×3＋20×1)÷4＝44÷4＝11）

相似比と面積比：面積は2乗の比

📄 プリント16ページ

数で試す：相似比 1：2 の2つの三角形で、小さい方の底辺が 4cm、高さが 3cm のとき、大きい方の底辺は 8cm、高さは 6cm です。面積は、小さい方が 4×3÷2＝6（cm²）、大きい方が 8×6÷2＝24（cm²）で、面積比は 6：24＝1：4 です。底辺も高さも2倍になるので、面積は 2×2＝4倍になります。

多角形・円の場合：多角形は、いくつかの三角形に分けて考えます。相似な多角形では、対応する三角形の相似比がどれも同じなので、全体の面積比も m²：n² です。円はどれも相似で、半径の比が相似比です。半径 2cm と 3cm の円なら、面積は 4π cm² と 9π cm² で、面積比は 2²：3²＝4：9 です。

例1　面積を求める：相似比が 4：7 の △ABC と △DEF があり、△ABC の面積が 48cm² のとき、△DEF の面積 x を求めます。面積比は 4²：7²＝16：49 です。

例2　相似比を求める：面積比が 49：64 の相似な2つの図形の相似比は、49＝7²、64＝8² なので 7：8 です。確かめると 7²：8²＝49：64 となります。

基本相似比が 3：5 の △ABC と △DEF があり、△ABC の面積が 36cm² のとき、△DEF の面積を求めなさい。

面積比は 3²：5²＝9：25 です。

9：25＝36：x	△ABC：△DEF＝面積比
9x＝900	外側の積＝内側の積（25×36）
x＝100	両辺を9でわる

答え：100cm²（確かめ：36÷9＝4、4×25＝100）

標準相似な2つの図形P、Qの面積が 18cm² と 50cm² のとき、PとQの相似比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

面積比は 18：50＝9：25 です。9＝3²、25＝5² なので、相似比は 3：5 です。

答え：3：5（確かめ：3²：5²＝9：25＝18：50）

図の中の三角形の面積：2乗の比と、高さが同じ三角形

📄 プリント17ページ

三角形と台形：DE∥BC、AD：DB＝1：2 のとき、AD：AB＝1：3 なので、△ADE∽△ABC で相似比は 1：3、面積比は 1：9 です。台形 DBCE は大きい三角形から小さい三角形をひいた部分なので、△ADE：台形DBCE＝1：(9−1)＝1：8 です。△ADE＝7cm² なら、台形は 7×8＝56（cm²）です。

高さが等しい三角形：△ABD と △ADC は、A から BC までの高さが等しいので、面積の比は底辺の比 BD：DC と等しくなります。BD：DC＝2：3 で △ABC＝30cm² のとき、△ABD は 30×25＝12（cm²）です。

台形の対角線でできる4つの三角形：AD∥BC の台形で、AD＝4cm、BC＝10cm、△AOD＝8cm² のとき、△AOD∽△COB で相似比は 4：10＝2：5、面積比は 4：25 です。△COB は 8×254＝50（cm²）です。AO：OC＝2：5 なので、高さが等しい △AOD と △DOC の面積の比も 2：5 で、△DOC＝8×52＝20（cm²）です。△ABD と △ACD は底辺 AD が共通で高さが等しいので面積が等しく、共通な △AOD をひいて △AOB＝△DOC＝20cm²。台形 ABCD は 8＋50＋20＋20＝98（cm²）になります。

身のまわりの問題：直径 20cm のピザが 1000円のとき、値段が面積に比例するとして、直径 30cm の同じ形のピザは何円でしょうか。相似比 20：30＝2：3、面積比 2²：3²＝4：9 なので、1000×94＝2250（円）です。

標準△ABC の辺 AB、AC 上に点 D、E があり、DE∥BC、AD：DB＝2：3 です。△ADE の面積が 12cm² のとき、台形 DBCE の面積を求めなさい。

AD：AB＝2：5 なので、△ADE∽△ABC の相似比は 2：5、面積比は 4：25 です。台形 DBCE は 25−4＝21 にあたるので、△ADE：台形DBCE＝4：21 です。

4：21＝12：x	△ADE：台形DBCE
4x＝252	外側の積＝内側の積（21×12）
x＝63	両辺を4でわる

答え：63cm²（確かめ：△ABC は 12×254＝75、75−12＝63）

基本△ABC の辺 BC 上に点 D があり、BD：DC＝3：4 です。△ABC の面積が 35cm² のとき、△ABD の面積を求めなさい。

△ABD と △ADC は高さが等しいので、面積の比は底辺の比 3：4 です。△ABC は 3＋4＝7 にあたります。

答え：35×37＝15（cm²）（確かめ：△ADC は 35×47＝20、15＋20＝35）

発展AD∥BC の台形 ABCD で、対角線 AC と BD の交点を O とします。AD＝3cm、BC＝9cm、△AOD＝5cm² のとき、台形 ABCD の面積を求めなさい。

△AOD∽△COB で相似比は 3：9＝1：3、面積比は 1：9 なので、△COB＝5×9＝45（cm²）です。AO：OC＝1：3 なので、高さが等しい △AOD と △DOC の面積の比も 1：3 で、△DOC＝5×3＝15（cm²）、△AOB＝△DOC＝15（cm²）です。

5＋45＋15＋15	△AOD＋△COB＋△DOC＋△AOB
＝80	台形 ABCD の面積

答え：80cm²（確かめ：△ABC＝△AOB＋△COB＝15＋45＝60、△ACD＝△AOD＋△DOC＝5＋15＝20 で、高さが等しいので 60：20＝BC：AD＝3：1 になる）

相似な立体：表面積は2乗、体積は3乗

📄 プリント18・19ページ

立体の相似：形を変えずに拡大または縮小した立体は、もとの立体と相似で、対応する線分の長さの比が相似比です。球はどれも相似（半径の比が相似比）ですが、円柱や円すいは、底面の半径と高さの比が等しいときだけ相似です。

円柱Bは、2：4＝3：6 なので、Aと相似（相似比 1：2）です。半径4cm、高さ5cm の円柱は、半径の比 2：4＝1：2 に対して高さの比 3：5 が 1：2 でないので、Aと相似ではありません。

相似な円柱：相似な円柱A、Bの高さが 6cm、9cm で、Aの表面積が 32π cm²、体積が 24π cm³ のとき、Bの表面積と体積を求めます。相似比は 6：9＝2：3、表面積の比は 2²：3²＝4：9、体積比は 2³：3³＝8：27 です。

円すいの容器に入れた水：頂点を下にした円すい形の容器に、深さの半分まで水を入れます。水の部分と容器は相似で、相似比は 1：2、体積比は 1³：2³＝1：8 です。水の体積は、容器の 18 です（12 ではありません）。水が 40cm³ のとき、容器いっぱいにするには、あと何 cm³ の水が入るかを考えます。

あと入る量は 320−40＝280（cm³）です。

円すいを底面に平行な平面で切る：高さの半分の所で切ると、頂点をふくむ小さい円すいともとの円すいの相似比は 1：2、体積比は 1：8 です。下の部分（円すい台）は、全体の 8 から小さい円すいの 1 をひいた 8−1＝7 にあたるので、小さい円すい：円すい台＝1：7 です。もとの円すいが 240cm³ なら、小さい円すいは 240×18＝30（cm³）、円すい台は 240−30＝210（cm³）です。

同じ材料でできた相似な立体の重さ：高さ 4cm で 120g の置物と相似な、高さ 6cm の置物の重さ x g を求めます。相似比は 4：6＝2：3、体積比は 2³：3³＝8：27 です。

標準相似な円柱A、Bがあり、Aは半径3cm・高さ6cm、Bの高さは4cm です。Aの体積が 54π cm³ のとき、Bの体積を求めなさい。

相似比は高さの比で 6：4＝3：2、体積比は 3³：2³＝27：8 です。Bの体積を x cm³ とします。

27：8＝54π：x	体積比
27x＝432π	外側の積＝内側の積（8×54π）
x＝16π	両辺を27でわる

答え：16π cm³（確かめ：Bは半径2cm、高さ4cm なので π×2²×4＝16π）

標準頂点を下にした円すい形の容器に、深さの 23 まで水を入れたところ、水は 80cm³ でした。この容器には、あと何 cm³ の水が入りますか。

水の部分と容器の相似比は 2：3、体積比は 2³：3³＝8：27 です。

80×278	水の体積に体積比 27：8 をかける
＝270	容器いっぱいの体積（cm³）

あと入る量は 270−80＝190（cm³）です。

答え：190cm³（確かめ：80÷8＝10 なので、体積比の1にあたる量は 10cm³、あと入る量は 27−8＝19 にあたり 10×19＝190）

まとめ

相似な図形は、形を変えずに拡大・縮小した図形で、対応する辺の比（相似比）が等しく、対応する角が等しくなります。三角形は、3組の辺の比・2組の辺の比とその間の角・2組の角のどれか1つで相似といえます。平行線があれば、三角形と比の定理・平行線と比の定理で線分の長さを求め、中点を結ぶと平行で半分（中点連結定理）になります。相似比が m：n なら、面積比は m²：n²、体積比は m³：n³です。プリントの確認問題で、対応する辺の比例式をつくる練習を手を動かして練習してみてください。