【中3数学】多項式（展開と因数分解）の要点まとめ｜乗法公式と因数分解のコツ

中3数学「多項式」を、図と例題で1つずつ確かめるページです。この単元は、かっこをはずして和の形にする「展開」と、積の形に表す「因数分解」が土台で、乗法公式4つを左右入れかえると因数分解の公式になります。どの見出しも「答え → 図 → 理由 → 解き方」の順に書いています。紙に書いて練習したい人は、下の無料プリントを使ってください。

単項式×多項式・多項式÷単項式：全部の項にかける、わる

📄 プリント1・2ページ

きっかけ：直線 AB 上の点 P をはさんで、AP＝2a m、PB＝2b m とします。A から B まで、コースア（AB を直径とする半円）とコースイ（AP と PB を直径とする2つの半円）を同じ速さで進むと、長さは次のようになります。

どちらも πa＋πb なので、P をどこに動かしても同時にゴールします。では、コースの間の面積はどうなるでしょうか。(a＋b)² のような多項式どうしのかけ算は、中2までの計算ではかっこをはずせません（中2は数×多項式まで）。この記事を読み進めると、面積が πab になることが分かります（最後の見出し）。

単項式×多項式：a(b＋c)＝ab＋ac。かっこの中の項がいくつでも、全部の項にかけます。

2つの積の差は、ひくほうの積をかっこにつけたまま展開してから、かっこをはずします。

多項式÷単項式：1本の分数線にして、全部の項をわります。

わる式が分数のときは、×逆数にします。32a＝3a2 なので、逆数は 23a です（a も分母に入ります）。

標準(4a²−6a)÷(−23a) を計算しなさい。

(4a²−6a)×(−32a)	÷分数は×逆数
＝4a²×(−32a)−6a×(−32a)	分配法則
＝−6a＋9	約分する

多項式×多項式の展開：1つずつ、全部の組をかける

📄 プリント3ページ

面積図で考える：縦 (a＋3) m、横 (b＋2) m の長方形の花だんの面積は、「縦×横」で (a＋3)(b＋2)、図の4つの部分の和で ab＋2a＋3b＋6 です。同じ面積なので、(a＋3)(b＋2) を展開すると ab＋2a＋3b＋6 になります。

手順：① 前のかっこの1つ目の項を、後ろのかっこの全部の項にかける → ② 前のかっこの2つ目の項も同じようにかける（符号も項とセットで）→ ③ 同類項をまとめる。

かっこの中が3つの項なら、2×3＝6つの積になります。(x−3y)(2x＋y−1)＝2x²＋xy−x−6xy−3y²＋3y＝2x²−5xy−3y²−x＋3y です。

標準(a＋2)(3a−b＋4) を展開しなさい。

(a＋2)(3a−b＋4)	もとの式
＝3a²−ab＋4a＋6a−2b＋8	a と 2 を、3a、−b、4 にそれぞれかける（6つの積）
＝3a²−ab＋10a−2b＋8	4a＋6a＝10a

乗法公式①：(x＋a)(x＋b)＝たして x の係数、かけて定数項

📄 プリント4ページ

公式を導く：面積の和が展開した式になります。

公式①を使う：

x が a のような別の文字でも同じです。(a−6)(a＋1)＝a²＋((−6)＋1)a＋(−6)×1＝a²−5a−6 です。公式①が使えるのは、2つのかっこで x の係数が同じ (x＋a)(x＋b) の形のときです。(2a−3)(a＋4) のように係数がちがうものは、「多項式×多項式の展開」の見出しの方法で展開します。

基本(x−5)(x＋9) を展開しなさい。

(x−5)(x＋9)	もとの式
＝x²＋((−5)＋9)x＋(−5)×9	公式①（a＝−5、b＝9）
＝x²＋4x−45	和は 4、積は −45

乗法公式②③：(x＋a)²、(x−a)² は真ん中の項を忘れない

📄 プリント5ページ

公式を導く：公式①で b を a にすると、(x＋a)(x＋a)＝(x＋a)² の展開になります。図では、1辺 x＋a の正方形が x²・ax・ax・a² に分かれます。

③は、②の a を −a にした形です。(x−a)²＝x²＋2×(−a)×x＋(−a)²＝x²−2ax＋a² となります。

a が分数のときも同じです。(a−12)²＝a²−2×12×a＋(12)²＝a²−a＋14 です（2×12＝1、(12)²＝14）。

標準(y−23)² を展開しなさい。

(y−23)²	もとの式
＝y²−2×23×y＋(23)²	公式③（x が y、a が 23）
＝y²−43y＋49	2×23＝43、(23)²＝49

乗法公式④：和と差の積は、2乗の差

📄 プリント6ページ

公式④を使う：(x＋8)(x−8)＝x²−8²＝x²−64。かっこの順が逆でも同じで、(y−3)(y＋3)＝y²−3²＝y²−9 です。数が前にあるときは、前の数が公式の x の場所に入ります。(6−a)(6＋a)＝6²−a²＝36−a² です。

4つの公式を見分ける：2つのかっこで同じ項を見つけ、残りの項を見ます。

標準次の式を、使う公式の番号（①〜④）を答えてから展開しなさい。(1) (x＋9)(x−9)　(2) (x＋3)(x−8)　(3) (x−4)²

(1) 符号だけちがう同じ数なので④：x²−81

(2) ちがう数なので①：x²＋(3−8)x＋3×(−8)＝x²−5x−24

(3) 同じかっこの2乗なので③：x²−2×4×x＋4²＝x²−8x＋16

いろいろな式の展開：かたまりを1つの文字と見る

📄 プリント7ページ

置きかえ：同じかたまり a＋b を M とおくと、公式が使える形になります。(a＋b＋2)(a＋b−2) は (M＋2)(M−2) なので、M²−4 を公式④で出し、M を a＋b に戻して (a＋b)²−4 とします。公式②で (a＋b)² を展開すると、a²＋2ab＋b²−4 です。

組み合わせ：

誤りを見つける：「(2x＋3)² を 4x²＋9 とした」のは、公式②で展開してくらべると分かります。(2x)²＋2×3×2x＋3²＝4x²＋12x＋9 で、真ん中の項 12x があります。

標準(x−2)²−(x＋5)(x−5) を計算しなさい。

(x−2)²−(x＋5)(x−5)	もとの式
＝x²−4x＋4−(x²−25)	公式③と④（ひくほうはかっこをつけたまま）
＝x²−4x＋4−x²＋25	かっこをはずす（−25 が＋25）
＝−4x＋29	同類項をまとめる

発展(a−b＋4)(a−b−4) を展開しなさい。

a−b を M とおくと (M＋4)(M−4) です。

(a−b＋4)(a−b−4)	もとの式（a−b を M とおく）
＝(a−b)²−4²	M²−4² を公式④で出し、M を a−b に戻す
＝a²−2ab＋b²−16	公式③で (a−b)² を展開

因数分解とは：積の形に表す・共通因数をくくり出す

📄 プリント8・9ページ

カードで長方形をつくる：1辺 x の正方形のカード（面積 x²）が1枚、縦 x・横 1 の長方形のカード（面積 x）が5枚、1辺 1 の正方形のカード（面積 1）が6枚あります。すき間なく並べると、縦は x＋2、横は x＋3 の長方形になります。カードの面積の和と縦×横が等しいので、x²＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3) です。同じように x²＋4x＋3 は、縦 x＋1、横 x＋3 の長方形になり、x²＋4x＋3＝(x＋1)(x＋3) です。

どの並べ方でも、x のカードは「縦にたした数＋横にたした数」枚、1 のカードは「縦にたした数×横にたした数」枚になります（1＋3＝4 枚、1×3＝3 枚）。左から右が因数分解、右から左が展開です。

共通因数でくくる：ma＋mb＝m(a＋b)（m が共通因数）。数は最大公約数、文字は全部の項に共通な文字を全部くくり出します。

確かめは、展開してもとの式に戻るかを見ます。3xy(x＋2)＝3x²y＋6xy です。全部の項が共通因数のときは、その項から1 が残ります。x²y＋xy＝xy×x＋xy×1＝xy(x＋1) です。

基本x² のカード1枚、x のカード6枚、1 のカード8枚をすき間なく並べて長方形をつくるとき、縦と横の長さを x を使った式で表しなさい。

x のカード6枚を、和が 6、積が 8 になるように 2枚と4枚に分けます（2＋4＝6、2×4＝8）。

答え：縦 x＋2、横 x＋4

標準10x²y−15xy²＋5xy を因数分解しなさい。

10x²y−15xy²＋5xy	もとの式
＝5xy×2x−5xy×3y＋5xy×1	共通因数は 5xy（10、15、5 の最大公約数 5、x と y）
＝5xy(2x−3y＋1)	5xy でくくる（最後の項から 1 が残る）

因数分解の公式①′：積が定数項、和が x の係数

📄 プリント10ページ

x²＋7x＋12 は、x のカード7枚を縦に a 枚、横に b 枚に分けると、1 のカードは a×b＝12 枚です。和が 7、積が 12 の2数は 3 と 4 なので、x²＋7x＋12＝(x＋3)(x＋4) です。

2数の見つけ方：① 積が定数項になる2数の組を、負の数もふくめて全部書き出す → ② その中から、和が x の係数になる組を選ぶ → ③ (x＋a)(x＋b) に入れる → ④ 展開して、もとの式に戻るか確かめる。

x²＋8x＋15 は、和が 8 になるのが 3 と 5 なので、(x＋3)(x＋5) です。

符号の見つけ方：定数項の符号で、2数の符号が決まります。

基本x²＋13x＋36 を因数分解しなさい。

x²＋13x＋36	積 36、和 13 の2数は 4 と 9
＝(x＋4)(x＋9)	公式①′（a＝4、b＝9）

標準x²−x−20 を因数分解しなさい。

定数項が負なので、2数の符号はちがいます。積が −20 になる組のうち、和が −1 になるのは 4 と −5 です。

x²−x−20	積 −20、和 −1 の2数は 4 と −5
＝(x＋4)(x−5)	公式①′（a＝4、b＝−5）

公式②′③′④′：2乗の形・2乗の差の因数分解

📄 プリント11ページ

公式①′で考えても出せます。x²＋6x＋9 は、積 9、和 6 の2数が 3 と 3 なので (x＋3)(x＋3)＝(x＋3)² です。同じ因数の積は2乗で表します。

x²−14x＋49＝x²−2×7×x＋7²＝(x−7)²（公式③′）、x²−36＝x²−6²＝(x＋6)(x−6)（公式④′）も同じ手順です。

公式を見分ける：

定数項が 4 のように2乗の数でも、x の係数が 2×2＝4 でなければ②′ではなく①′です。x²＋5x＋4 は、積 4、和 5 の2数が 1 と 4 なので (x＋1)(x＋4) です。

標準次の式を因数分解しなさい。(1) x²＋18x＋81　(2) x²−12x＋36　(3) 25x²−4y²

(1) 81＝9²、18＝2×9 なので②′：(x＋9)²

(2) 36＝6²、12＝2×6 なので③′：(x−6)²

(3) 25x²＝(5x)²、4y²＝(2y)² なので④′：(5x＋2y)(5x−2y)

いろいろな因数分解：まず共通因数、次に公式

📄 プリント12ページ

置きかえ：(x＋y)²−5(x＋y)＋6 は、x＋y を M とおくと M²−5M＋6 です。公式①′で (M−2)(M−3) とし、M を x＋y に戻して(x＋y−2)(x＋y−3) となります。(x＋1)²−16 は、M²−4² から (M＋4)(M−4) とし、M を x＋1 に戻して (x＋1＋4)(x＋1−4)＝(x＋5)(x−3)（かっこの中の数を計算する）です。

展開して整理してから：このままでは公式の形になっていない式は、展開して同類項をまとめてから因数分解します。

標準3x²−48 を因数分解しなさい。

3x²−48	もとの式
＝3(x²−16)	① 共通因数 3 をくくる
＝3(x＋4)(x−4)	② 公式④′

標準(a＋b)²−7(a＋b)＋12 を因数分解しなさい。

(a＋b)²−7(a＋b)＋12	もとの式（a＋b を M とおくと M²−7M＋12）
＝(M−3)(M−4)	公式①′（積 12、和 −7 の2数は −3 と −4）
＝(a＋b−3)(a＋b−4)	M を a＋b に戻す

発展(x＋3)(x−8)＋30 を因数分解しなさい。

(x＋3)(x−8)＋30	もとの式
＝x²−5x−24＋30	展開する（公式①）
＝x²−5x＋6	同類項（−24＋30）をまとめる
＝(x−2)(x−3)	公式①′（積 6、和 −5 の2数は −2 と −3）

数の性質を証明する：例で予想し、文字で証明する

📄 プリント13ページ

4＝2²、16＝4²、36＝6²、64＝8² なので、「2つの続いた奇数の積に1を加えた数は、その間の偶数の2乗になる」と予想できます。

証明の書き方：① 数を文字で表す → ② 式をつくって、展開・因数分解する → ③ 目的の形にして、結論を書く。n を整数とすると、2つの続いた奇数は 2n＋1、2n＋3 と表されます。

2n＋2 は、2n＋1 と 2n＋3 の間の偶数です。したがって、予想は正しいことが証明できました。中2の証明は和のような1次式でしたが、中3では積や2乗の式を展開・因数分解して目的の形にします。

もう1つの性質：連続する3つの整数で、真ん中の数の2乗から1をひいた数は、両はしの数の積に等しい。真ん中の数を n とすると、両はしの数は n−1、n＋1 で、(n−1)(n＋1)＝n²−1 です（公式④）。

標準連続する2つの整数で、大きいほうの2乗から小さいほうの2乗をひいた差は、2つの整数の和に等しいことを証明しなさい。

小さいほうの整数を n とすると、大きいほうは n＋1 と表されます。

(n＋1)²−n²	大きい数の2乗−小さい数の2乗
＝n²＋2n＋1−n²	公式②で展開
＝2n＋1	同類項をまとめる

2つの整数の和は n＋(n＋1)＝2n＋1 で、差と同じ式です。したがって、差は2つの整数の和に等しいことが証明できました。

数の計算・式の値のくふう：公式の形にして計算する

📄 プリント14ページ

73²−27² は、公式④′（④を右から左へ使う）で (73＋27)(73−27)＝100×46＝4600 です。

式の値：x＝97 のとき x²＋6x＋9 の値は、そのまま代入すると計算が大変なので、先に因数分解して (x＋3)² にします。(97＋3)²＝100²＝10000 です。式が長いときは先に展開して整理します。a＝14、b＝−3 のとき (a＋2b)²−(a−2b)² は、a²＋4ab＋4b²−(a²−4ab＋4b²)＝8ab とまとめてから代入し、8×14×(−3)＝−6 です。

基本次の計算を、くふうしてしなさい。(1) 301×299　(2) 49²　(3) 85²−15²

301×299	もとの式
＝(300＋1)×(300−1)	300 との和と差にする
＝300²−1²	公式④
＝89999	90000−1

49²	もとの式
＝(50−1)²	50 との差にする
＝50²−2×1×50＋1²	公式③
＝2401	2500−100＋1

85²−15²	もとの式
＝(85＋15)×(85−15)	公式④′
＝100×70	かっこの中を計算する
＝7000

倍数・カレンダー・計算の手順の証明

📄 プリント15ページ

倍数の証明：2つの続いた奇数で、大きい数の2乗から小さい数の2乗をひいた差は、3²−1²＝8、5²−3²＝16、7²−5²＝24 で、「8の倍数」と予想できます。n を整数として、2つの続いた奇数を 2n＋1、2n＋3 とします。

n＋1 は整数だから、8×(整数) の形で、8の倍数です。「8×(整数) の形」と「( ) が整数であること」の2つを書きます。

カレンダー：2026年10月のカレンダーで、2×2 の正方形で囲んだ4つの数は、右上×左下−左上×右下が、いつでも 7 になります（例：14×20−13×21＝280−273＝7）。左上の数を n とすると、右上は n＋1、左下は n＋7、右下は n＋8 です。

真ん中の数がある形（3×3 の正方形や十字の形）では、真ん中の数を n にすると、上下は n−7・n＋7、左右は n−1・n＋1 と表され、和と差の積が使えます。ななめの位置は、横の1と縦の7を合わせて表します（右下 n＋8 は n＋1＋7）。

計算の手順を式にする：「ある整数に 5 をたして2乗した数から、その整数から 5 をひいて2乗した数をひくと、20 の倍数になる」。整数を n とすると、5 をたして2乗した数は (n＋5)²、5 をひいて2乗した数は (n−5)² です。「2乗してから 6 をひく」なら (n＋5)²−6 のように、2乗した式のあとでひきます。

20×n の形で、n は整数だから、20 の倍数です。

標準2つの続いた偶数で、大きいほうの2乗から小さいほうの2乗をひいた差は、4の倍数になります。このことを証明しなさい。

n を整数として、2つの続いた偶数を 2n、2n＋2 とします。

(2n＋2)²−(2n)²	大きい数の2乗−小さい数の2乗
＝4n²＋8n＋4−4n²	公式②で展開
＝8n＋4	同類項をまとめる
＝4(2n＋1)	共通因数 4 をくくる

2n＋1 は整数だから、4×(整数) の形で、4の倍数です。

図形の性質の証明：長さを文字で表し、式を変形する

📄 プリント16ページ

正方形の池：1辺 p m の正方形の池のまわりに、幅 a m の道があります。

真ん中の線は1辺 p＋a の正方形なので ℓ＝4(p＋a) です。a×4(p＋a)＝4ap＋4a² となり、S と同じ式なので S＝aℓ です。

円形の池：半径 r m の円形の池のまわりに幅 a m の道があるとき、真ん中の線は半径 r＋a2 の円です。

aℓ＝a×2π(r＋a2)＝2πar＋πa² （2×a2＝a）となり、S と同じです。S＝aℓ を使うと、道の面積を ℓ から求められます。r＝20、a＝2 なら、ℓ＝2π(20＋1)＝42π、S＝2×42π＝84π m² です。

最初のコースの間の面積：最初の見出しの、アの半円からイの2つの半円をのぞいた部分の面積を、文字で表して展開します。

標準半径 15 m の円形の池のまわりに、幅 2 m の道があります。S＝aℓ を使って、道の面積を求めなさい。ただし、円周率は π とします。

道の真ん中を通る線は、半径 r＋a2＝15＋1＝16（m）の円なので、ℓ＝2π×16＝32π です。

2×32π	S＝aℓ に a＝2、ℓ＝32π を代入
＝64π	単位は m²

まとめ

展開は、かっこの中の全部の項にかけて和の形にすることで、乗法公式①〜④で速く確実にできます。因数分解は展開の逆で、まず共通因数をくくり、次に項の数と形で公式①′〜④′を選びます。数の性質や図形の性質は、文字で表して展開・因数分解し、目的の形にして証明します。プリントの確認問題で、公式の選び方と符号の計算を手を動かして練習してみてください。