【中3数学】平方根の要点まとめ｜根号の簡単化・有理化・計算のコツ

中3数学「平方根」で、2乗して a になる数を √ で表すしくみから、√ の中の簡単化・分母の有理化・たし算とひき算・展開までを、図と例題で1つずつ確かめるページです。この単元は「2乗して a になる数が √a」と「√ の中の2乗の数は外へ出せる」の2つが土台です。どの見出しも「答え → 図 → 理由 → 解き方」の順に書いています。紙に書いて練習したい人は、下の無料プリントを使ってください。

2乗して2になる数は？ 根号 √ と近似値

📄 プリント1・2ページ

面積 2cm² の正方形：かたむいた正方形の面積は、まわりの正方形から、すみの直角三角形をひいて求めます。

面積 4cm² の正方形の1辺は 2cm です（2²＝4）。面積 2cm² の正方形の1辺を x cm とすると、x は 2乗して2になる数です。1²＝1、2²＝4 なので、1 と 2 の間の数で、整数では表せません。x を小数で追いこんでみます（y は x を2乗した数）。

1.414 は2乗すると2に少したりず、1.415 は2をこえます。そこで、2乗して2になる正の数を √2 と書きます。1.414 のように真の値に近い値を近似値といい、√2≒1.414 と書きます（≒ は「ほぼ等しい」）。電卓の √ のキーでも求められます。√2 は 1.41 より大きく 1.42 より小さい数です。

正の数 a についても同じで、2乗して a になる正の数を √a と書きます。面積 5cm² の正方形の1辺は √5 cm、面積 4cm² の正方形の1辺は √4＝2（cm）です（整数で表せる場合もあります）。

√5 や √10 は、どの数の間？2乗した数をくらべて、はさみこみます。2²＝4、3²＝9 で 4＜5＜9 なので、√5 は 2 と 3 の間です。さらに 2.2²＝4.84、2.3²＝5.29 で 4.84＜5＜5.29 なので、√5 は 2.2 と 2.3 の間です（√5≒2.236）。√10 は、3²＝9、4²＝16 で 9＜10＜16 なので、3 と 4 の間です。

基本√30 は、どの続いた2つの整数の間にありますか。さらに小数第1位まで、はさみこみなさい。

5²＝25、6²＝36 で 25＜30＜36 なので、5 と 6 の間です。5.4²＝29.16、5.5²＝30.25 で 29.16＜30＜30.25 なので、5.4 と 5.5 の間です。

答え：5 と 6 の間。5.4 と 5.5 の間

平方根とは？ 正と負の2つあり、√ は正のほう

📄 プリント3ページ

9 の平方根は、3²＝9 だけでなく (−3)²＝9 でもあるので、3 と −3 の2つです。正のほうが √a、負のほうが −√a で、まとめて ±√a（プラスマイナスルート a）と書きます。どんな数も2乗すると 0 以上になるので、負の数の平方根はありません。

√ を使わずに表す：√a は正のほうの平方根なので、√ の中が何かの2乗なら、√ を使わずに表せます。√49＝7（7²＝49 だから）、√0.09＝0.3（0.3²＝0.09 だから）です。

基本の性質：a が正の数のとき、(√a)²＝a、(−√a)²＝a です。例えば (√6)²＝6、(−√11)²＝11 です。

基本次の値を求めなさい。(1) 64 の平方根　(2) √64　(3) √((−9)²)

(1) 8²＝64、(−8)²＝64 なので ±8。(2) √64 は正のほうなので 8。(3) (−9)²＝81 で、√81＝9 です。

答え：(1) ±8　(2) 8　(3) 9

平方根の大小：2乗してくらべる

📄 プリント4ページ

数直線では、右にあるほど大きい数です。√2≒1.41、√5≒2.24、√10≒3.16 です。

√10 より小さい自然数：3²＝9、4²＝16 で 9＜10＜16 だから 3＜√10＜4 です。√10 より小さい自然数は 1、2、3 です。

標準94、√5、2 を小さい順に、不等号を使って表しなさい。また、−√20 と −√21 の大小を、不等号を使って表しなさい。

2乗すると、(94)²＝8116＝5.0625、(√5)²＝5、2²＝4 です。4＜5＜5.0625 なので 2＜√5＜94 です。また、20＜21 より √20＜√21 なので、負の数は逆になります。

答え：2＜√5＜94、−√20＞−√21

有理数と無理数：分数で表せるかどうか

📄 プリント5ページ

数の分類：有理数は、整数（−2、0、3 など。1、2、3 は自然数）と、整数でない有理数（35、−0.8、13 など）に分けられます。無理数は √2、√7、π などです。有理数と無理数を合わせると、数直線上のすべての点に対応する数を表せます。

有理数の例は 0.6＝35、−2＝−21、√9＝3 です。√ がついていても、√ を使わずに表せれば有理数です。

標準ア √25　イ −√3　ウ 0.7　エ √0.49　オ π　カ 29 のうち、無理数をすべて選びなさい。

√25＝5、√0.49＝0.7（0.7²＝0.49）は整数や分数で表せます。29 は 0.222… と同じ数字がくり返す小数（循環小数）で、分数で表せるので有理数です。−√3 と π は、くり返さない、かぎりなく続く小数になります。

答え：イ、オ

√ のかけ算・わり算：√ の中どうしで

📄 プリント6ページ

√2×√3 は √6 としてよい？近似値でたしかめます。√2≒1.414、√3≒1.732 なので 1.414×1.732＝2.449048 で、√6≒2.449 とほぼ同じ値になります。ほんとうにそうなるかを、2乗して考えます。

√2×√3 は正の数で、2乗すると 6 になります。6 の正の平方根は √6 なので、√2×√3＝√6 です。

同じ数どうしのかけ算は整数になります。√5×√5＝√25＝5 です（(√a)²＝a と同じ）。

基本次の計算をしなさい。(1) √2×√13　(2) √77÷√7

√2×√13	もとの式
＝√26	√ の中どうしをかける

√77÷√7	もとの式
＝√(77÷7)	√ の中どうしをわる
＝√11	77÷7＝11

√ の中を簡単に：2乗の数を外へ出す

📄 プリント7ページ

外の数を √ の中へ入れる：外の数を 3＝√9 のように √ の形にして、√ の中どうしをかけます。

√ の中の2乗の数を外へ出す：① √ の中を素因数分解する → ② 2乗になっている数を見つける → ③ その数を √ の外へ1つ出す。

大きい数の素因数分解に使う2乗の数は、11²＝121、12²＝144、13²＝169、14²＝196、15²＝225、16²＝256、17²＝289、18²＝324、19²＝361 です。

大小をくらべる：3√2 と 2√5 は、どちらも √ の中に入れてくらべます。3√2＝√18、2√5＝√20 で 18＜20 だから、3√2＜2√5 です。

標準(1) √48 を a√b の形にしなさい。(2) 5√2 を √□ の形にしなさい。(3) 2√7 と 3√3 の大小を、不等号を使って表しなさい。

√48	もとの式
＝√(4²×3)	48＝16×3 と考える
＝4√3	4² を √ の外へ

(2) 5√2＝√25×√2＝√50 です。(3) 2√7＝√28、3√3＝√27 で 27＜28 なので、3√3＜2√7 です。

答え：(1) 4√3　(2) √50　(3) 3√3＜2√7

√ の近似値：知っている √ の形に直してから

📄 プリント8ページ

√20≒4.472 のとき、√2000 や √0.2 は、√ の中を知っている √（√2・√20）の形にします（√2000 を 20√5 にする必要はありません）。

平方根の近似値のおぼえ方：語呂合わせがあります。√2≒1.41421356（ひとよひとよにひとみごろ）、√3≒1.7320508（ひとなみにおごれや）、√5≒2.2360679（ふじさんろくおうむなく）です。

標準√2≒1.414 として、√72 と √0.18 の近似値を求めなさい。

72＝6²×2 なので √72＝6√2＝6×1.414＝8.484。0.18 は 18 を100でわった数なので、√0.18 は √18 を 10 でわった数です。√18＝3√2＝3×1.414＝4.242 だから、√0.18＝4.242÷10＝0.4242 です。

答え：√72≒8.484、√0.18≒0.4242

分母の有理化といろいろなかけ算・わり算

📄 プリント9・10ページ

1√2≒11.414 は 1.414 でわる計算がたいへんです。√2√2＝1 をかけても数の大きさは変わらず、1√2＝√22 と、分母から √ がなくなります。√22≒1.4142＝0.707 と、2 でわるだけで求められます。

a√b どうしのかけ算：先に a√b の形に簡単にしておくと、数が小さいまま計算できます。

わり算は分数の形に：数どうし、√ どうしを計算します。

標準次の計算をしなさい。(1) 10√6 を有理化する　(2) √18×√8　(3) 4√6÷2√3

10√6	もとの式
＝10√66	分母と分子に √6 をかける
＝5√63	約分する（÷2）

√18×√8	もとの式
＝3√2×2√2	先に簡単にする
＝6×2	√2×√2＝2
＝12	かける

4√6÷2√3	もとの式
＝4√62√3	分数の形にする
＝42×√(6÷3)	数どうし、√ どうし
＝2√2	わり算する

√ のたし算・ひき算：√ の中が同じものどうしをまとめる

📄 プリント11ページ

√2＋√3 は √5 にならない：近似値でたしかめると、1.414＋1.732＝3.146 ですが、√5≒2.236 なので、√2＋√3 と √5 はちがう数です。

面積 5cm² の正方形を4つ並べた大きな正方形の1辺は √5＋√5 です。面積は 5×4＝20（cm²）なので、1辺は √20＝2√5 です。よって √5＋√5＝2√5 で、a＋a＝2a と同じです。

標準次の計算をしなさい。(1) √45＋√20−√5　(2) 6√3−√27

√45＋√20−√5	もとの式
＝3√5＋2√5−√5	√ の中を簡単にする
＝4√5	まとめる

6√3−√27	もとの式
＝2√3−3√3	有理化・簡単に（6√3＝2√3）
＝−√3	まとめる

√ をふくむ式の展開：√ を1つの文字と見て、公式

📄 プリント12ページ

乗法公式の x を、√ をふくむ数にかえて使います。x が 3√2 なら、x²＝(3√2)²＝3²×(√2)²＝9×2＝18 です。

① (x＋a)(x＋b)＝x²＋(a＋b)x＋ab　② (x＋a)²＝x²＋2ax＋a²　③ (x−a)²＝x²−2ax＋a²　④ (x＋a)(x−a)＝x²−a²

標準次の式を展開して計算しなさい。(1) √2(√8＋3)　(2) (√6−2)²　(3) (√7＋1)(√7−3)

√2(√8＋3)	もとの式
＝√16＋3√2	分配法則
＝4＋3√2	√16＝4

(√6−2)²	もとの式
＝6−4√6＋4	公式③（x が √6）
＝10−4√6	まとめる

(√7＋1)(√7−3)	もとの式
＝7−3√7＋√7−3	公式①（x が √7）
＝4−2√7	まとめる

√ をふくむ式の値：簡単にしてから代入する

📄 プリント13ページ

x＝√3＋1 のとき、x²−2x＋1 は (x−1)² と因数分解してから代入すると、かっこの中が簡単になります。

そのまま代入しても (√3＋1)²−2(√3＋1)＋1＝3 と同じ値ですが、因数分解してからのほうが計算が短くなります。

x＋y・x−y・xy を先に：x＝√5＋√2、y＝√5−√2 のとき、x＋y＝2√5、x−y＝2√2、xy＝(√5＋√2)(√5−√2)＝3 です。

共通因数をくくる：x＝√6＋2、y＝√6−2 のとき x²y＋xy² の値は、まず共通因数をくくって xy(x＋y) にします。xy＝(√6＋2)(√6−2)＝2、x＋y＝2√6 なので、xy(x＋y)＝2×2√6＝4√6 です。

発展x＝√5−1 のとき x²＋2x＋1 の値を求めなさい。また、x＝√7＋√2、y＝√7−√2 のとき、xy と x²−y² の値を求めなさい。

(√5−1＋1)²	x²＋2x＋1＝(x＋1)² に x＝√5−1 を代入
＝(√5)²	かっこの中を計算
＝5	(√a)²＝a

xy＝(√7＋√2)(√7−√2)＝7−2＝5、x−y＝2√2、x＋y＝2√7 です。

2√7×2√2	x²−y²＝(x＋y)(x−y) に代入
＝4√14	数どうし、√ どうし

答え：x²＋2x＋1＝5、xy＝5、x²−y²＝4√14

√ が自然数になるのは？ 整数の問題

📄 プリント14ページ

√(28n) が自然数になる最小の n：√ の中を素因数分解し、2乗の組になっていない数を見つけて、その数をかけます。

√(20−a) が自然数になる自然数 a：a は自然数（1 以上）なので、20−a は 19 以下です。√(20−a) が自然数になるのは、20−a が自然数の2乗 1、4、9、16 のときです。

よって a は 19、16、11、4 の4個です。

3＜√n＜4 となる自然数 n：3、√n、4 を2乗してくらべます。3²＝9、4²＝16 なので 9＜n＜16 で、n は 10、11、12、13、14、15 の6個です。

√11 の整数部分と小数部分：9＜11＜16 なので 3＜√11＜4 です。整数部分は 3、小数部分は √11 から整数部分をひいた √11−3 です。

標準(1) √(18n) が自然数となる最小の自然数 n を求めなさい。(2) 4＜√n＜5 となる自然数 n は何個ありますか。(3) √13 の整数部分と小数部分を求めなさい。

(1) 18＝2×3² で、2 が1つ足りません。n＝2 のとき 18×2＝36＝6² なので、√36 の値は 6 です。(2) 4²＝16、5²＝25 なので 16＜n＜25 で、n は 17〜24 の8個です。(3) 9＜13＜16 なので 3＜√13＜4 です。

答え：(1) n＝2　(2) 8個　(3) 整数部分は 3、小数部分は √13−3

コピー用紙は、どんな長方形？ 1：√2 と正方形の対角線

📄 プリント15ページ

どれも √2≒1.414 に近い値です。A3 を半分に折ると A4 になります。

かたむいた正方形は、小さい正方形の半分（直角三角形）の4つ分なので、面積は小さい正方形2つ分の 2a² cm² です。だから1辺は a√2 cm になります（2a² の a² を √ の外へ）。1辺 1cm の正方形の対角線は √2 cm です。

半分に折っても、形は同じ：短い辺 1、長い辺 √2 の長方形を半分に折ると、短い辺が √22、長い辺が 1 の長方形になります。

長さを求める：A4 の短い辺を 21cm とすると、長い辺は 21√2 cm です。√2≒1.414 で 21×1.414＝29.694 なので、約 29.7cm です。

基本1辺 8cm の正方形の対角線の長さを、√ を使って表しなさい。また、√2≒1.414 として、およその長さを求めなさい。

対角線は 8√2 cm です。8×1.414＝11.312 なので、約 11.3cm です。

答え：8√2 cm（約 11.3cm）

まとめ

平方根は、2乗して a になる数で、正の数には正と負の2つあり、√a は正のほうです。√ の大小は2乗してくらべ、分数で表せない数を無理数といいます。かけ算・わり算は √ の中どうしで計算し、√ の中の2乗の数は外へ出して簡単にします。分母に √ があれば同じ √ を分母と分子にかけて有理化し、たし算・ひき算は √ の中が同じものどうしをまとめます。展開と式の値は、√ を1つの文字と見て公式や因数分解を使います。プリントの確認問題で、√ の簡単化と有理化の計算を手を動かして練習してみてください。