【中2数学】確率の要点まとめ｜無料プリント付き

中2数学「確率」を、樹形図と表で1つずつ確かめるページです。この単元は「あてはまる場合の数 ÷ 全部の場合の数」と「同じ物も区別して、もれなく重なりなく数える」の2つが土台です。どの見出しも「答え → 図 → 理由 → 解き方」の順に書いています。紙に書いて練習したい人は、下の無料プリントを使ってください。

確率の求め方と、確率の範囲（0 から 1）

📄 プリント1〜3ページ

中1の確率とのちがい：中1では、実験をくり返して相対度数から確率を調べました。この章では、さいころ・硬貨・くじのように、実験をしないで場合の数（起こり方が何通りあるか）から確率を求めます。

求め方：① 全部の場合の数 n を数える → ② あてはまる場合の数 a を数える → ③ an を約分する。たとえば、さいころ1個で6の約数の目が出る確率は、全部が1〜6の6通り、あてはまるのが 1、2、3、6 の4通りなので 46＝23 です。赤玉4個・白玉3個・青玉1個の袋から1個取り出して白玉が出る確率は、玉は1個ずつちがう物なので全部が 4＋3＋1＝8 で8通り、あてはまるのは3通りで 38 です。

確率の意味：さいころを投げて1の目が出る確率が 16 だとは、投げる回数を多くしていくと、1の目が出る相対度数が 16 に近づく、ということです。6回投げて、ちょうど1回出るとは限りません。確率の大きさで、起こりやすさをくらべることもできます。1より大きい答えや、負の答えが出たときは、数えまちがいです。

基本1 から 20 までの整数が1つずつ書かれた20枚のカードから1枚をひくとき、3の倍数のカードをひく確率を求めなさい。ただし、どのカードをひくことも同様に確からしいものとします。

全部の場合は20通りです。3の倍数は 3、6、9、12、15、18 の6通りです。

620	あてはまる6通り ÷ 全部20通り
＝310	約分する

標準硬貨を投げて、5回続けて表が出ました。6回目に表が出る確率を求めなさい。ただし、表と裏が出ることは同様に確からしいものとします。

硬貨は前の結果をおぼえていないので、6回目も表と裏の2通りのうち表は1通りです。

答え：12

樹形図：硬貨を区別して、全部の場合を数える

📄 プリント4ページ

1枚表で1枚裏になるのは ○ をつけた2通りなので、確率は 24＝12 です。3通りの考え方では「表裏」と「裏表」を1つにしていたので、まちがいでした。枝分かれした図を樹形図といい、全部の場合を、もれなく重なりなく数えられます。

3枚の硬貨を投げるときの全部の場合は 2×2×2＝8 で8通りです。3枚とも同じ面（表表表・裏裏裏）になるのは ○ の2通りで、確率は 28＝14 です。

基本2枚の硬貨を同時に投げるとき、2枚とも同じ面が出る確率を求めなさい。ただし、表と裏が出ることは同様に確からしいものとします。

全部の場合は 表表・表裏・裏表・裏裏 の4通りです。同じ面は 表表・裏裏 の2通りです。

24	あてはまる2通り ÷ 全部4通り
＝12	約分する

標準3枚の硬貨を同時に投げるとき、表が2枚以上出る確率を求めなさい。ただし、表と裏が出ることは同様に確からしいものとします。

全部の場合は 2×2×2＝8 で8通りです。表が2枚以上になるのは、表表表・表表裏・表裏表・裏表表の4通りです。

48	あてはまる4通り ÷ 全部8通り
＝12	約分する

並べ方：順番がちがえば別の場合

📄 プリント5ページ

1、2、3、4 の4枚から2枚を続けて取り出し、十の位・一の位の順に並べて2けたの整数をつくるとき、十の位が4通り、それぞれの一の位が3通りで、全部 4×3＝12 で12通りです。偶数（一の位が 2 か 4）は ○ の6通りで、確率は 612＝12 です。

0 があるとき：0、1、2、3 の4枚でつくると、十の位に 0 は置けません（03 は2けたの整数ではない）。十の位は 1、2、3 の3通り、それぞれの一の位はのこりの3通りで、全部 3×3＝9 で9通りです。

役を決める：A、B、C、D の4人から委員長と副委員長を1人ずつ選ぶと、委員長が4通り、それぞれの副委員長がのこりの3通りで、全部 4×3＝12 で12通りです。「委員長 A・副委員長 B」と「委員長 B・副委員長 A」は別の場合です。

基本A、B、C、D、E の5人から、くじで会長と書記を1人ずつ選ぶとき、A が会長になる確率を求めなさい。ただし、どの選び方も同様に確からしいものとします。

会長が5通り、それぞれの書記がのこりの4通りで、全部 5×4＝20 で20通りです。A が会長になるのは、書記がのこりの4人のどれかの4通りです。

420	あてはまる4通り ÷ 全部20通り
＝15	約分する

標準1、2、3、4、5 の数が書かれた5枚のカードから、2枚を続けて取り出し、1枚目を十の位、2枚目を一の位として2けたの整数をつくります。この整数が3の倍数になる確率を求めなさい。ただし、どのカードを取り出すことも同様に確からしいものとします。

全部の場合は 5×4＝20 で20通りです。3の倍数になるのは、12、15、21、24、42、45、51、54 の8通りです（各位の数の和が3の倍数になる）。

820	あてはまる8通り ÷ 全部20通り
＝25	約分する

同時に選ぶとき：AB と BA は同じ1通り

📄 プリント6ページ

1〜5 の5枚のカードから同時に2枚取り出すときは、全部の場合が 4＋3＋2＋1＝10 で10通りです。2枚の数の和が6以上になるのは 1と5・2と4・2と5・3と4・3と5・4と5 の6通りで、確率は 610＝35 です。

並べ方で数えても、全部 5×4＝20、和が6以上 6×2＝12 で 1220＝35 と同じです。分母と分子の数え方は、そろえます。

選ばない人を考える：4人から3人を選ぶ選び方は、選ばれない1人を選ぶのと同じなので4通りです。正方形 ABCD の4つの頂点から2つを選んで結ぶ線分は 3＋2＋1＝6 で6通りで、辺が4本、対角線が AC と BD の2本です。

基本A、B、C、D、E の5人から、くじで2人の当番を選ぶとき、A が選ばれる確率を求めなさい。ただし、どの選び方も同様に確からしいものとします。

全部の場合は 4＋3＋2＋1＝10 で10通りです。A が選ばれるのは AB・AC・AD・AE の4通りです。

410	あてはまる4通り ÷ 全部10通り
＝25	約分する

標準3、4、5、6、7 の数が書かれた5枚のカードから、同時に2枚取り出すとき、2枚の数の積が偶数になる確率を求めなさい。ただし、どのカードを取り出すことも同様に確からしいものとします。

全部の場合は10通りです。積が偶数になるのは、偶数の 4 か 6 をふくむ組で、3と4・3と6・4と5・4と6・4と7・5と6・6と7 の7通りです。

710	あてはまる7通り ÷ 全部10通り
＝710	これ以上約分できない

玉の取り出し方：同時に・戻さずに・戻して

📄 プリント7ページ

赤玉1個・白玉3個の袋で、2個とも白玉になる確率：ウ（戻す）は、1個目も2個目も4通りで 4×4＝16 で16通りです。イ（戻さない）は、同じ玉が2回出る4通りが起こらないので 16−4＝12 で12通りです。ア（同時に）は、「赤と白1」と「白1と赤」が同じ組なので6通りで、イの12通りの半分です。

2個とも白玉のように、取り出す順番を問わないことがらでは、アとイは同じ確率になります（イは、アの組を2回ずつ数えているだけです）。ウは、同じ玉がもう一度出るので、確率が変わります。

標準赤玉2個、白玉3個が入った袋があります。玉は、赤1、赤2、白1、白2、白3 と区別して考えます。1個取り出し、それを戻さずにもう1個取り出すとき、2個とも白玉になる確率を求めなさい。ただし、どの玉が取り出されることも同様に確からしいものとします。

全部の場合は 5×4＝20 で20通りです。2個とも白玉になるのは、1個目が3通り、2個目がのこりの白玉2通りで 3×2＝6 で6通りです。

620	あてはまる6通り ÷ 全部20通り
＝310	約分する

同時に2個取り出すと、全部が10通り、2個とも白玉が3通りで 310 となり、同じ確率です。

標準同じ袋から、1個取り出して色を調べてから袋に戻し、もう1個取り出すとき、1個目が赤玉、2個目が白玉になる確率を求めなさい。

戻すので、全部の場合は 5×5＝25 で25通りです。1個目が赤玉の2通りそれぞれに、2個目が白玉の3通りがあるので 2×3＝6 で6通りです。

答え：625

2つのさいころ：6×6＝36通りの表で数える

📄 プリント8ページ

表の行が大、列が小の目で、マスには目の和を書いています。和が6になるのは (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) の5通りなので、確率は 536 です。

じゃんけん：2人のじゃんけんは、手の出し方が 3×3＝9 で9通りで、A が勝つのは3通りなので 39＝13 です。3人なら、2人の9通りのそれぞれに3人目の3通りがあるので 9×3＝27 で27通りです。あいこになるのは、3人とも同じ手（3通り）と、3人ともちがう手（3×2×1＝6 で6通り）の 3＋6＝9 で9通りです。

基本大小2つのさいころを同時に投げるとき、出た目の和が10以上になる確率を求めなさい。ただし、どの目が出ることも同様に確からしいものとします。

全部の場合は36通りです。和が10以上になるのは、(4,6) (5,5) (6,4) (5,6) (6,5) (6,6) の6通りです。

636	あてはまる6通り ÷ 全部36通り
＝16	約分する

標準大小2つのさいころを同時に投げるとき、大のさいころの目が、小のさいころの目の2倍になる確率を求めなさい。

(大,小) が (2,1) (4,2) (6,3) の3通りです。全部は36通りです。

336	あてはまる3通り ÷ 全部36通り
＝112	約分する

標準A、B、C の3人が1回じゃんけんをするとき、2人だけが勝つ確率を求めなさい。ただし、3人とも、グー・チョキ・パーを出すことは同様に確からしいものとします。

全部の場合は 3×3×3＝27 で27通りです。勝つ2人の組は (A,B)・(A,C)・(B,C) の3通りで、それぞれ、勝つ手がグー・チョキ・パーの3通りです（たとえば A と B がグーで C がチョキ）。3×3＝9 で9通りです。

927	あてはまる9通り ÷ 全部27通り
＝13	約分する

いろいろな条件：表のマスに、問われている数を書く

📄 プリント9ページ

目の積：大小2つのさいころで、目の積が6の倍数になる確率は、表のマスに積を書き、6の倍数（6、12、18、24、30、36）のマスを数えて、15個なので 1536＝512 です。

2けたの整数 10a＋b：大の目を a、小の目を b として、2けたの整数 10a＋b をつくります。4の倍数になるのは、次のとおりです。

2＋1＋2＋1＋2＋1＝9 で9通りなので、確率は 936＝14 です。

点の移動：正方形 ABCD の頂点 A に点 P があり、大小2つのさいころの目の和の数だけ、P が A→B→C→D→A→… と頂点を1つずつ動きます。4つ進むと A にもどるので、C に止まるのは和が 2、6、10 のときです。和が2は1通り、6は5通り、10は3通りなので 1＋5＋3＝9 で9通り、確率は 936＝14 です。

基本大小2つのさいころを同時に投げるとき、出た目の積が4の倍数になる確率を求めなさい。ただし、どの目が出ることも同様に確からしいものとします。

全部の場合は36通りです。大の目 a ごとに、積が4の倍数になる小の目 b を数えます。a＝1 は b＝4 の1通り、a＝2 は b＝2、4、6 の3通り、a＝3 は b＝4 の1通り、a＝4 は b がどれでもよい6通り、a＝5 は b＝4 の1通り、a＝6 は b＝2、4、6 の3通りで、1＋3＋1＋6＋1＋3＝15 で15通りです。

1536	あてはまる15通り ÷ 全部36通り
＝512	約分する

標準大の目を a、小の目を b として、2けたの整数 10a＋b をつくるとき、この整数が5の倍数になる確率を求めなさい。ただし、どの目が出ることも同様に確からしいものとします。

5の倍数は一の位が 0 か 5 ですが、b は 1〜6 なので、b＝5 のときだけです。a は6通りなので、15、25、35、45、55、65 の6通りです。

636	あてはまる6通り ÷ 全部36通り
＝16	約分する

発展正方形 ABCD の頂点 A に点 P があります。大小2つのさいころを投げ、出た目の和の数だけ、P が A→B→C→D→A→… と頂点を1つずつ動くとき、P が B に止まる確率を求めなさい。ただし、どの目が出ることも同様に確からしいものとします。

4つ進むと A にもどるので、B に止まるのは和が 1、5、9 のときです。和は2以上なので、和が5と9のときです。和が5は (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) の4通り、和が9は (3,6) (4,5) (5,4) (6,3) の4通りで、4＋4＝8 で8通りです。

836	あてはまる8通り ÷ 全部36通り
＝29	約分する

起こらない確率と「少なくとも1つは」

📄 プリント10ページ

全部の場合が n 通りのうち、A の起こる場合が a 通りなら、起こらない場合は n−a 通りで、n−an＝1−an になるからです。たとえば、さいころで6の約数が出る確率 23 と、出ない確率 13 をたすと、23＋13＝1 になります。

例1：1枚の硬貨を3回投げて、少なくとも1回は表が出る確率は、3回とも裏になるのが1通り、全部は8通りなので、次のとおりです。

例2：大小2つのさいころで、少なくとも1つは1の目が出る確率は、どちらも1でないのが 5×5＝25 で25通り（全部は36通り）なので、1−2536＝1136 です。

基本大小2つのさいころを同時に投げるとき、少なくとも1つは偶数の目が出る確率を求めなさい。ただし、どの目が出ることも同様に確からしいものとします。

反対の「どちらも奇数」を数えます。奇数は 1、3、5 の3通りなので、どちらも奇数は 3×3＝9 で9通りです（全部は36通り）。

1−936	1 からひく
＝2736	計算する
＝34	約分する

標準赤玉4個、白玉3個が入った袋から、同時に2個取り出すとき、少なくとも1個は赤玉である確率を求めなさい。ただし、どの玉が取り出されることも同様に確からしいものとします。

7個から同時に2個取り出す全部の場合は 6＋5＋4＋3＋2＋1＝21 で21通りです。反対の「2個とも白玉」は、白1と白2・白1と白3・白2と白3の3通りです。

1−321	1 からひく
＝1821	計算する
＝67	約分する

くじをひく順番：先でも後でも当たる確率は同じ

📄 プリント11ページ

3本のうち1本が当たり：当たり（当）1本とはずれ2本（は1、は2）を、A、B、C の順に1本ずつひきます（戻さない）。全部の場合は 3×2×1＝6 で6通りです。

5本のうち2本が当たり：当たり2本とはずれ3本のくじを、A が先、B があとに1本ずつひきます（戻さない）。全部の場合は 5×4＝20 で20通りです。B が当たるのは、A が当たりで B も当たりの 2×1＝2 で2通りと、A がはずれで B が当たりの 3×2＝6 で6通りで、2＋6＝8 で8通りなので 820＝25 です。A が当たるのは、A が当たりで B のひき方が4通りなので 2×4＝8 で8通りで、A も 820＝25 で、同じです。

説明の書き方：① 全部の場合の数を書く（どの場合も同様に確からしい）→ ② それぞれの場合の数と確率を書く → ③ 確率をくらべて、「〜だから、〜といえる」と結論を書く。

標準4本のうち2本が当たりのくじを、A、B の順に1本ずつひきます（ひいたくじは戻さない）。A が当たる確率と B が当たる確率を、それぞれ求めなさい。ただし、どのくじをひくことも同様に確からしいものとします。

当たりを 当1、当2、はずれを は1、は2 と区別します。全部の場合は 4×3＝12 で12通りです。A が当たるのは、A が2通り、B がのこりの3通りで 2×3＝6 で6通りです。B が当たるのは、A が当たりのとき B ものこりの当たり1通りで 2×1＝2 で2通り、A がはずれのとき B は当たり2通りで 2×2＝4 で4通りです。2＋4＝6 で6通りです。

612	A が当たる6通り ÷ 全部12通り
＝12	約分する

612	B が当たる6通り ÷ 全部12通り
＝12	約分する

答え：A も B も 12（同じ）

どちらが起こりやすい？ 区別して数え、確率の大きさでくらべる

📄 プリント12ページ

4つの窓のカード：4つの窓ア〜エのうち、2つに○、2つに×がかくれているカードがあり、窓を2つけずって出方を調べます。出方は「○○」「○×」「××」の3通りですが、○を ○1、○2、×を ×1、×2 と区別して樹形図にかくと、全部の場合は6通りです。

○と×の出方がいちばん出やすいといえます。3通りの出方は、同様に確からしくありません。

確率を書いてくらべる：大小2つのさいころを投げて、目の和が4の倍数になる確率と、5の倍数になる確率をくらべます。4の倍数は和が 4、8、12 で 3＋5＋1＝9 で9通り、5の倍数は和が 5、10 で 4＋3＝7 で7通りです。「4の倍数の確率は 936、5の倍数の確率は 736 で、936 の方が大きいから、4の倍数の方が起こりやすい」のように、分母をそろえて書くとくらべやすくなります。

標準大小2つのさいころを同時に投げるとき、目の和が3の倍数になる確率と、4の倍数になる確率では、どちらが大きいですか。ただし、どの目が出ることも同様に確からしいものとします。

3の倍数は和が 3、6、9、12 で、2＋5＋4＋1＝12 で12通りです。4の倍数は和が 4、8、12 で、3＋5＋1＝9 で9通りです。全部は36通りです。

1236	3の倍数の確率
＝13	約分する

936	4の倍数の確率
＝14	約分する

答え：3の倍数になる確率の方が大きい（1236 と 936 をくらべて、1236 の方が大きいから）

ゲームは公平？ 勝つ確率が同じなら公平

📄 プリント13ページ

さいころのゲーム：大小2つのさいころを投げて、「目の積が偶数なら A の勝ち、奇数なら B の勝ち」とします。積が奇数になるのは、奇数×奇数のときで、3×3＝9 で9通りです。B が勝つ確率は 936＝14、A が勝つ確率は 2736＝34 で、A が勝つ確率の方が大きいので、このゲームは公平ではなく、A が有利です。「目の和が偶数なら A、奇数なら B」にすると、和が偶数になるのは18通りで、どちらも 1836＝12 になり、公平です。

求めにくいときは 1 からひく：「目の和が7以上なら A の勝ち、6以下なら B の勝ち」とすると、和が7以上は 6＋5＋4＋3＋2＋1＝21 で21通り、A が勝つ確率は 2136＝712 です。B が勝つ確率は 1−712＝512 で、712 と 512 は同じではないので、公平ではありません。

説明は、「〜の確率は…、〜の確率は…。…だから、正しい（正しくない）」の形で書きます。

基本2枚の硬貨を同時に投げて、「2枚とも同じ面が出たら A の勝ち、ちがう面が出たら B の勝ち」とするゲームは公平ですか。確率を使って説明しなさい。ただし、表と裏が出ることは同様に確からしいものとします。

2枚の硬貨を区別すると、全部の場合は 表表・表裏・裏表・裏裏 の4通りです。A が勝つのは 表表・裏裏 の2通り、B が勝つのは 表裏・裏表 の2通りです。

答え：A が勝つ確率は 24＝12、B が勝つ確率も 24＝12 で同じだから、公平である。

標準袋A には 1、2、3 の数が書かれたカードが、袋B には 4、5、6 の数が書かれたカードが入っています。それぞれの袋から1枚ずつ取り出し、2枚の数の和を得点とします。P さんは「和が7になるのが、最も出やすい」と言いました。P さんの言ったことは正しいですか。確率を使って説明しなさい。ただし、どのカードを取り出すことも同様に確からしいものとします。

表の行が袋A、列が袋Bの数で、マスに和を書きます。全部の場合は 3×3＝9 で9通りです。

A＼B	4	5	6
1	5	6	7
2	6	7	8
3	7	8	9

和が5は1通り、6は2通り、7は3通り、8は2通り、9は1通りです。

答え：和が7になる確率は 39＝13、ほかの和の確率は 29 以下で、和が7の確率がいちばん大きいから、P さんの言ったことは正しい。

まとめ

確率は、どの場合も同様に確からしいとき「あてはまる場合の数 ÷ 全部の場合の数」で求め、0 以上 1 以下の数になります。全部の場合は、同じ物も区別して、樹形図や36通りの表でもれなく重なりなく数えます。順番があるときは入れかえた物も別に数え、同時に選ぶときは AB と BA を同じ組とします。「少なくとも1つは」は 1 から「1つもない確率」をひき、起こりやすさや公平かどうかは、確率を書いてくらべて説明します。プリントの確認問題で、樹形図と表を自分でかいて練習してみてください。