【中2数学】三角形と四角形の要点まとめ｜無料プリント付き

中2数学「三角形と四角形」を、図と例題で1つずつ確かめるページです。この単元は、二等辺三角形の底角は等しい・直角三角形の合同条件・平行四辺形の性質と、平行四辺形になるための5つの条件の3つが土台で、三角形の合同を使って図形の性質を証明していきます。どの見出しも「答え → 図 → 理由 → 解き方」の順に書いています。紙に書いて練習したい人は、下の無料プリントを使ってください。

二等辺三角形の定義と底角：定義と定理のちがい

📄 プリント1・2ページ

ロープで直角をつくる：地面の直線 ℓ の上の点 O から同じ長さで ℓ 上に点 A、B をとり（OA＝OB）、A、B から同じ長さのロープをのばして交わった点を P とします（PA＝PB）。O と P を結ぶと、ℓ と OP が直角に交わります。いつも直角になるわけは、三角形の合同で説明できます。△PAO と △PBO において、

言葉の決まり：等しい2辺の間の角を頂角、頂角に向かい合う辺を底辺、底辺の両はしの角を底角といいます。ことばの意味をはっきり述べたものが定義、証明されたことがらのうち大切でよく使われるものが定理です。

底角が等しいことの証明：AB＝AC の二等辺三角形 ABC で、∠A の二等分線と BC の交点を D とします。△ABD と △ACD において、

基本AB＝AC の二等辺三角形 ABC で、頂角、底辺、底角をそれぞれ答えなさい。

等しい2辺 AB、AC の間の角が頂角、それに向かい合う辺が底辺、底辺の両はしの角が底角です。

答え：頂角は ∠A、底辺は BC、底角は ∠B と ∠C

標準次のア〜ウは、定義と定理のどちらですか。ア 3つの辺が等しい三角形を正三角形という　イ 二等辺三角形の2つの底角は等しい　ウ 4つの辺がすべて等しい四角形をひし形という

ア、ウはことばの意味を決めたもので、イは定義から証明されたことがらです。

答え：ア 定義、イ 定理、ウ 定義

二等辺三角形の角を求める：頂角か底角かを見分ける

📄 プリント3ページ

二等辺三角形が2つ：AD＝DB＝BC、∠A＝38° のとき、x＝∠ABC を求めます。△DAB で ∠ABD＝∠A＝38° なので、外角 ∠BDC は 38＋38＝76（度）です。△BDC は DB＝BC の二等辺三角形なので ∠C＝76°、頂角 ∠DBC は 180−76×2＝28（度）です。x＝∠ABD＋∠DBC＝38＋28＝66（度）です。

基本AB＝AC の二等辺三角形 ABC で、∠A＝52° のとき、∠B の大きさを求めなさい。

(180−52)÷2	頂角をひいて2でわる（底角は等しい）
＝64	∠B（度）

答え：64°

標準BA＝BC の二等辺三角形 ABC で、∠A＝56° のとき、頂角 ∠B の大きさを求めなさい。

等しい辺 BA、BC の間の ∠B が頂角です。底角 ∠C は ∠A と等しく 56° です。

180−56×2	内角の和は 180°
＝68	∠B（度）

答え：68°

発展AB＝AC、∠A＝36° の二等辺三角形 ABC の辺 AC 上に、BD＝BC となる点 D をとります。∠ABD の大きさを求めなさい。

∠C は △ABC と △BDC の両方の底角です。

(180−36)÷2	△ABC の底角 ∠C
＝72	∠C（度）

180−72×2	△BDC は BD＝BC の二等辺三角形で ∠BDC＝∠C＝72°
＝36	頂角 ∠DBC（度）

72−36	∠ABD＝∠ABC−∠DBC（∠ABC＝∠C＝72°）
＝36	∠ABD（度）

答え：36°

頂角の二等分線と正三角形

📄 プリント4ページ

頂角の二等分線：前の見出しの証明の続きです。△ABD≡△ACD から BD＝CD と ∠ADB＝∠ADC が言えます。∠ADB＋∠ADC＝180° なので、180°÷2＝90°、つまり AD⊥BC です。BC＝12 cm、∠B＝58° のとき、BD＝12÷2＝6（cm）、∠ADB＝90° から △ABD の内角の和で x＝180−(90＋58)＝32（度）です。

正三角形：AB＝AC と見れば ∠B＝∠C、BA＝BC と見れば ∠A＝∠C なので、∠A＝∠B＝∠C です。3つの角の和は 180° なので、1つの角は 180°÷3＝60° です。

かくれた二等辺三角形：正三角形 ABC と、辺 AC を1辺とする正方形 ACDE を、△ABC の外側につくります。AB＝AC＝AE なので △ABE は二等辺三角形です。∠BAE＝60＋90＝150（度）、x＝(180−150)÷2＝15（度）です。問題文に「二等辺三角形」とあっても無くても、等しい辺を見つけます。

基本AB＝AC の二等辺三角形 ABC で、∠A の二等分線と辺 BC の交点を D とします。BC＝18 cm、∠B＝64° のとき、BD の長さと ∠BAD の大きさを求めなさい。

頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分するので、BD＝18÷2＝9（cm）、∠ADB＝90° です。

180−(90＋64)	△ABD の内角の和は 180°
＝180−154
＝26	∠BAD（度）

答え：BD＝9 cm、∠BAD＝26°

標準AB＝AC、∠A＝20° の二等辺三角形 ABC の外側に、辺 AC を1辺とする正三角形 ACD をつくります。∠ABD の大きさを求めなさい。

AB＝AC で、正三角形 ACD の辺なので AC＝AD です。AB＝AD より △ABD は二等辺三角形で、頂角は ∠BAD＝20＋60＝80（度）です。

(180−80)÷2	底角は等しい
＝50	∠ABD（度）

答え：50°

二等辺三角形になる条件：2つの角が等しい三角形

📄 プリント5ページ

紙テープを折ると：ふち ℓ、m が平行な紙テープを、線分 BC で折ります。重なった △ABC は、折り返したので ∠ABC＝∠CBD で、ℓ∥m の錯角で ∠ACB＝∠CBD です。よって ∠ABC＝∠ACB となり、AB＝AC になりそうです。

わけ：∠B＝∠C の △ABC で、∠A の二等分線 AD をひきます。△ABD と △ACD で、∠BAD＝∠CAD、AD は共通、内角の和から ∠ADB＝∠ADC です。1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので合同で、AB＝AC になります。

二等辺三角形であることの証明：AB＝AC の二等辺三角形 ABC で、辺 AB、AC 上に BD＝CE となる点 D、E をとり、線分 BE と CD の交点を F とします。△FBC は二等辺三角形であることを証明します。△DBC と △ECB において、

標準△ABC で、∠A＝100°、∠B＝40° のとき、この三角形は二等辺三角形といえますか。いえるときは、等しい辺を答えなさい。

180−(100＋40)	内角の和は 180°
＝40	∠C（度）

∠B＝∠C＝40° で、2つの角が等しいので、二等辺三角形です。等しい角に向かい合う辺は、∠B に向かい合う AC と、∠C に向かい合う AB です。

答え：二等辺三角形といえる（AB＝AC）

逆と反例：仮定と結論を入れかえる

📄 プリント6ページ

二等辺三角形の定理「△ABC で、AB＝AC ならば ∠B＝∠C」の逆が、前の見出しの「∠B＝∠C ならば AB＝AC」です。この逆は正しいことがらです。

逆が正しくない例：「x＝2 ならば x²＝4」は正しいことがらです。その逆「x²＝4 ならば x＝2」は、x＝−2 のときも x²＝4 になるので、正しくありません。この x＝−2 が反例です。

図形の逆：「△ABC≡△DEF ならば、△ABC と △DEF の面積は等しい」の逆「面積が等しい2つの三角形は合同である」は正しくありません。底辺 6 cm・高さ 4 cm の三角形（面積 6×4÷2＝12 cm²）と、底辺 8 cm・高さ 3 cm の三角形（面積 8×3÷2＝12 cm²）は、面積が等しいのに合同ではありません。

「2直線が平行ならば、同位角は等しい」の逆「同位角が等しければ、2直線は平行」は、正しいことがらです（中2の平行線と角）。

基本「x が 6 の倍数ならば、x は 2 の倍数である」の逆を書き、その逆が正しいかどうかを答えなさい。正しくないときは、反例を1つあげなさい。

逆は「x が 2 の倍数ならば、x は 6 の倍数である」です。x＝4 は 2 の倍数ですが 6 の倍数ではないので、正しくありません。

答え：逆は「x が 2 の倍数ならば、x は 6 の倍数である」。正しくない（反例は x＝4）

標準「四角形が正方形ならば、4つの角は等しい」の逆を書き、正しいかどうかを答えなさい。正しくないときは、反例を1つあげなさい。

逆は「4つの角が等しい四角形は、正方形である」です。たて 3 cm、横 5 cm の長方形は、4つの角が等しい（どれも 90°）のに、正方形ではありません。

答え：逆は「4つの角が等しい四角形は、正方形である」。正しくない（反例はたて 3 cm、横 5 cm の長方形）

直角三角形の合同条件：斜辺と、あと1つ

📄 プリント7・8ページ

鋭角と鈍角：0° より大きく 90° より小さい角を鋭角、90° より大きく 180° より小さい角を鈍角といいます。

合同条件のわけ：「斜辺と1つの鋭角」は、直角と1つの鋭角が等しいと、内角の和から残りの角も等しくなるので、1組の辺（斜辺）とその両端の角がそれぞれ等しくなり、合同です。「斜辺と他の1辺」は、等しい辺 AC を合わせて並べると B、C、E が一直線になり、AB＝AE から △ABE は二等辺三角形です。底角が等しいので ∠B＝∠E となり、斜辺と1つの鋭角が等しくて合同です。

直角三角形の合同を使う証明：∠XOY の二等分線上の点 P から、辺 OX、OY に垂線 PA、PB をひきます。PA＝PB を証明します。△POA と △POB において、

標準∠C＝∠F＝90° の △ABC と △DEF について、次のとき △ABC≡△DEF といえますか。いえるときは合同条件を答えなさい。（1）BC＝EF、∠A＝∠D　（2）BC＝EF、∠B＝∠E

BC、EF は直角に向かい合う辺ではないので、斜辺ではありません。

（1）∠A＝∠D で、∠C＝∠F＝90° なので、内角の和から ∠B＝∠E も言えます。BC＝EF とその両端の角（∠B＝∠E、∠C＝∠F）が等しいので合同です。

（2）BC＝EF とその両端の角（∠B＝∠E、∠C＝∠F）が等しいので合同です。

答え：（1）（2）どちらも合同（1組の辺とその両端の角）

発展AB＝AC の二等辺三角形 ABC で、頂点 B から辺 AC に、頂点 C から辺 AB に垂線 BD、CE をひきます。BD＝CE を証明しなさい。

△BCD と △CBE において、

言うこと	根拠
∠BDC＝∠CEB＝90° …①	仮定から
BC＝CB …②	共通な辺だから
∠BCD＝∠CBE …③	二等辺三角形の底角は等しいから
△BCD≡△CBE	①、②、③から、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
BD＝CE	合同な図形の対応する辺は等しい

平行四辺形の性質：対辺・対角・対角線

📄 プリント9・10ページ

四角形の向かい合う辺を対辺、向かい合う角を対角といいます。

辺と角を求める：平行四辺形 ABCD で、AB＝5 cm、BC＝8 cm、∠B＝61° のとき、対辺は等しいので CD＝5 cm、AD＝8 cm、対角は等しいので ∠D＝61° です。AD∥BC で、平行線の間の同じ側の角の和は 180° なので、∠A＝180−61＝119（度）、対角は等しいので ∠C＝119° です。

性質1・2（対辺・対角が等しい）のわけ：対角線 AC をひいて、△ABC と △CDA の合同を使います。△ABC と △CDA において、

また、∠A＝∠BAC＋∠DAC、∠C＝∠DCA＋∠BCA で、①、②から ∠A＝∠C です。

性質3（対角線が中点で交わる）のわけ：対角線の交点を O とします。△OAB と △OCD で、AB＝CD（性質1）、AB∥DC の錯角で ∠OAB＝∠OCD、∠OBA＝∠ODC です。1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので △OAB≡△OCD となり、OA＝OC、OB＝OD が言えます。

証明の根拠に使えるのは、定義（2組の対辺が平行）と、すでに証明したことです。性質1は、性質3の証明に使えます。

基本平行四辺形 ABCD で、AB＝7 cm、BC＝4 cm、∠A＝112° のとき、CD の長さと、∠B、∠C の大きさを求めなさい。

対辺は等しいので CD＝AB＝7 cm です。対角は等しいので ∠C＝∠A＝112° です。

180−112	となり合う角の和は 180°
＝68	∠B（度）

答え：CD＝7 cm、∠B＝68°、∠C＝112°

標準平行四辺形 ABCD の周の長さが 38 cm、AB＝8 cm のとき、辺 BC の長さを求めなさい。また、対角線の交点を O とするとき、AC＝16 cm、BD＝9 cm ならば、OA、OB の長さを求めなさい。

対辺は等しいので、AB＋BC は周の長さの半分です。

(38−8×2)÷2	周の長さから AB、CD をひいて、BC、DA の和を2でわる
＝22÷2
＝11	BC（cm）

対角線はそれぞれの中点で交わるので、OA＝16÷2＝8（cm）、OB＝9÷2＝4.5（cm）です。

答え：BC＝11 cm、OA＝8 cm、OB＝4.5 cm

平行四辺形の性質を使う：根拠にした証明と二等辺三角形

📄 プリント11ページ

性質を根拠にした証明：平行四辺形 ABCD の対角線 BD 上に、BE＝DF となる点 E、F をとります。AE＝CF を証明します。△ABE と △CDF において、

証明のためにかいた図は、仮定に合うすべての図の代表です。形をかえて図をかき直しても、同じ証明が使えます。

角の二等分線と二等辺三角形：平行四辺形 ABCD で、AB＝6 cm、AD＝10 cm、∠B＝78° です。∠A の二等分線と辺 BC の交点を E とします。図の x（辺 BC 上の ∠AEC）と EC の長さを求めます。

AD∥BC の錯角で ∠AEB＝∠DAE＝51° です。一直線の角は 180° なので x＝180−51＝129（度）です。また、∠BAE＝∠BEA なので △ABE は二等辺三角形で、BE＝AB＝6 cm、EC＝10−6＝4（cm）です。平行線と角の二等分線があると、二等辺三角形ができます。

標準平行四辺形 ABCD で、AB＝4 cm、AD＝11 cm、∠B＝64° です。∠A の二等分線と辺 BC の交点を E とするとき、∠AEB の大きさと EC の長さを求めなさい。

(180−64)÷2	∠A＝180−64、その半分が ∠BAE
＝116÷2
＝58	∠BAE（度）

AD∥BC の錯角で、∠AEB＝∠DAE＝∠BAE＝58° です。∠BAE＝∠BEA なので △ABE は二等辺三角形で、BE＝AB＝4 cm です。EC＝BC−BE＝11−4＝7（cm）です。

答え：∠AEB＝58°、EC＝7 cm

発展平行四辺形 ABCD の対角線の交点 O を通る直線が、辺 AB、DC とそれぞれ E、F で交わっています。OE＝OF を証明しなさい。

△OAE と △OCF において、

言うこと	根拠
OA＝OC …①	平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから
∠OAE＝∠OCF …②	AB∥DC で、平行線の錯角は等しいから
∠AOE＝∠COF …③	対頂角は等しいから
△OAE≡△OCF	①、②、③から、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
OE＝OF	合同な図形の対応する辺は等しい

平行四辺形になるための条件：5つ

📄 プリント12〜14ページ

なぜ：長さの等しい棒を向かい合わせて4本つないだ四角形（AB＝DC、AD＝BC）は、関節を曲げて形が変わっても、向かい合う棒どうしがいつも平行のまま動きます。ロボットの足や、上下する台のしくみに使われています。

②のわけ：四角形 ABCD で AB＝CD、BC＝DA のとき、平行四辺形であることを証明します。△ABC と △CDA において、

③のわけ：四角形 ABCD で、∠A＝∠C、∠B＝∠D のとき、4つの角の和は 360° なので ∠A＋∠B＝180° です。辺 AB を B の方へのばした点を E とすると、∠CBE＝180°−∠B＝∠A です。同位角が等しいので AD∥BC になります。同じように AB∥DC も言えます。

④のわけ：OA＝OC、OB＝OD のとき、△OAB と △OCD は、2組の辺とその間の角（対頂角）がそれぞれ等しいので合同です。すると ∠OAB＝∠OCD（錯角）となり、AB∥DC です。同じように △OAD≡△OCB から AD∥BC が言えます。

⑤のわけ：AD∥BC、AD＝BC のとき、対角線 AC をひくと、△ABC と △CDA は、BC＝DA、錯角 ∠BCA＝∠DAC、AC は共通で合同になります。∠BAC＝∠DCA で錯角が等しいので AB∥DC となり、平行四辺形です。

角の和から確かめる：四角形 ABCD で ∠A＝∠C＝110°、∠B＝∠D のとき、四角形の内角の和は 360° なので、∠B＋∠D は 360−110×2＝140（度）、∠B＝140÷2＝70（度）です。∠A＋∠B＝110＋70＝180（度）なので、③と同じように平行四辺形です。

基本四角形 ABCD で ∠A＝∠C＝105°、∠B＝∠D のとき、∠B の大きさを求めなさい。この四角形は平行四辺形といえますか。

(360−105×2)÷2	∠B＋∠D は 360−105×2、その半分が ∠B
＝150÷2
＝75	∠B（度）

2組の対角がそれぞれ等しいので、平行四辺形といえます。

答え：∠B＝75°、平行四辺形といえる（2組の対角が等しい）

標準四角形 ABCD で、次のとき平行四辺形といえますか。いえるときは条件を、いえないときはその理由を答えなさい。（1）4つの角がすべて等しい　（2）4つの辺がすべて等しい　（3）AD∥BC、∠B＝∠C

（1）4つの角がすべて等しいので、2組の対角がそれぞれ等しく、平行四辺形といえます。

（2）4つの辺がすべて等しいので、2組の対辺がそれぞれ等しく、平行四辺形といえます。

（3）AD∥BC で ∠B＝∠C の台形は、AB＝DC の台形になり、平行四辺形とはかぎりません。AD＝3 cm、BC＝7 cm、∠B＝∠C＝70° の台形が反例です。

答え：（1）いえる（2組の対角が等しい）　（2）いえる（2組の対辺が等しい）　（3）いえない

平行四辺形であることの証明：分かっていることから条件を選ぶ

📄 プリント15ページ

対角線の中点を使う：平行四辺形 ABCD の対角線の交点を O とし、線分 OA、OC 上に AE＝CF となる点 E、F をとります。四角形 EBFD が平行四辺形であることを証明します。

1組の対辺が平行で等しいことを使う：平行四辺形 ABCD の辺 AD、BC 上に AE＝CF となる点 E、F をとります。四角形 EBFD が平行四辺形であることを証明します。AD∥BC だから ED∥BF …①。AD＝BC（対辺）と AE＝CF から ED＝AD−AE＝BC−CF＝BF …②。①、②から、1組の対辺が平行でその長さが等しいので、四角形 EBFD は平行四辺形です。

基本平行四辺形 ABCD の辺 BC、AD 上に、BE＝DF となる点 E、F をとります。四角形 AECF が平行四辺形であることを示すとき、5つの条件のどれを使いますか。

AD∥BC だから AF∥EC です。AD＝BC（対辺）と BE＝DF から、AF＝AD−DF＝BC−BE＝EC です。

答え：1組の対辺が平行で、その長さが等しい（AF∥EC、AF＝EC）

標準平行四辺形 ABCD の対角線 BD 上に、BE＝DF となる点 E、F をとります。四角形 AECF が平行四辺形であることを証明しなさい。

対角線 AC と BD の交点を O とします。

言うこと	根拠
OA＝OC …①、OB＝OD …②	平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから
BE＝DF …③	仮定から
OE＝OB−BE＝OD−DF＝OF …④	②、③から
四角形 AECF は平行四辺形	①、④から、対角線 AC、EF がそれぞれの中点で交わるから

長方形・ひし形・正方形：平行四辺形の仲間と対角線

📄 プリント16・17ページ

平行四辺形の仲間であるわけ：長方形は2組の対角がそれぞれ等しいので平行四辺形です。ひし形は2組の対辺がそれぞれ等しいので平行四辺形です。正方形は、長方形でもあり、ひし形でもあります。長方形・ひし形・正方形は、平行四辺形の性質をすべてもちます。

条件を加える：平行四辺形 ABCD に「∠A＝90°」を加えます。対角は等しいので ∠C＝90°、∠B＝∠D＝180−90＝90（度）となり、4つの角が等しいので長方形です。「AB＝BC」を加えると、AB＝CD、BC＝DA（対辺）と合わせて4つの辺が等しいので、ひし形です。

長方形：△ABC と △DCB で、AB＝DC（対辺）、BC は共通、∠ABC＝∠DCB＝90° です。2組の辺とその間の角が等しいので合同で、AC＝DB（対角線の長さが等しい）です。

ひし形：△ABO と △ADO で、AB＝AD（定義）、BO＝DO（対角線は中点で交わる）、AO は共通です。3組の辺が等しいので合同で、∠AOB＝∠AOD、和が 180° なので 90° です。ひし形 ABCD で ∠B＝68° のとき、BA＝BC の二等辺三角形 ABC で x＝∠BAC は (180−68)÷2＝56（度）です。

逆と反例：「長方形の対角線の長さは等しい」の逆「対角線の長さが等しい四角形は長方形」は正しくありません。反例は、AD∥BC、AB＝DC で平行四辺形でない台形です。平行四辺形で、対角線の長さが等しければ長方形、垂直ならひし形です。

直角三角形の斜辺の中点：∠B＝90° の直角三角形 ABC に点 D を足して長方形 ABCD をつくると（破線）、斜辺 AC は対角線で、その中点 M は対角線の交点です。長方形の対角線は長さが等しく中点で交わるので、M は A、B、C、D から等しい距離にあります。AC＝10 cm なら BM＝10÷2＝5（cm）です。

基本平行四辺形 ABCD に、次の条件を加えると、どんな四角形になりますか。（1）∠A＝∠B　（2）AB＝BC かつ ∠A＝90°

（1）∠A＋∠B＝180° で ∠A＝∠B なので、どちらも 90° です。対角も等しいので、4つの角がすべて 90° になります。

（2）AB＝BC で4つの辺が等しく、∠A＝90° で4つの角が等しくなります。

答え：（1）長方形　（2）正方形

標準ひし形 ABCD で ∠B＝50° のとき、∠BAC の大きさを求めなさい。また、長方形 ABCD の対角線 AC、BD の交点を O とするとき、AC＝18 cm、∠ACB＝28° ならば、OB の長さと ∠BOC の大きさを求めなさい。

ひし形では BA＝BC なので、△ABC は ∠B が頂角の二等辺三角形です。

(180−50)÷2	頂角 ∠B をひいて2でわる（底角は等しい）
＝65	∠BAC（度）

長方形の対角線は長さが等しく中点で交わるので、OB＝OC＝18÷2＝9（cm）です。△OBC は OB＝OC の二等辺三角形なので ∠OBC＝∠OCB＝28° です。

180−28×2	頂角 ∠BOC
＝124	∠BOC（度）

答え：∠BAC＝65°、OB＝9 cm、∠BOC＝124°

2つの正三角形：60°＋共通な角

📄 プリント18ページ

線分 AB 上に点 C をとり、AB の同じ側に正三角形 ACD、CBE をつくります。AE＝DB を証明します。△ACE と △DCB において、

△DCB を C を中心に 60° 回すと、△ACE に重なります。A、C、B が一直線でなくても、回した図のように ∠ACE＝60°＋∠DCE＝∠DCB が言えれば、同じ証明で AE＝DB が成り立ちます。AE と DB の交わる角 ∠APD は 60° です（△ACE≡△DCB の対応する角から言えます）。

基本線分 AB 上に点 C をとり、AB の同じ側に正三角形 ACD、CBE をつくります。∠DCE の大きさを求めなさい。

A、C、B は一直線上にあるので、∠ACD＋∠DCE＋∠ECB＝180° です。

180−(60＋60)	∠ACD＝∠ECB＝60°
＝180−120
＝60	∠DCE（度）

答え：60°

発展鋭角三角形 ABC の外側に、辺 AB、AC を1辺とする正方形 ABDE、ACFG をつくります。EC＝BG を証明しなさい。

△AEC と △ABG において、

言うこと	根拠
AE＝AB …①	四角形 ABDE は正方形だから
AC＝AG …②	四角形 ACFG は正方形だから
∠EAC＝∠BAG …③	∠EAC＝∠EAB＋∠BAC＝90°＋∠BAC、∠BAG＝∠BAC＋∠CAG＝∠BAC＋90° だから
△AEC≡△ABG	①、②、③から、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
EC＝BG	合同な図形の対応する辺は等しい

平行線と面積：底辺が同じで高さが同じ

📄 プリント19ページ

台形の中の面積の等しい三角形：台形 ABCD（AD∥BC）に対角線をひきます。△ABC と △DBC は、底辺 BC が共通で、高さ（平行な AD と BC の間の距離）が等しいので、面積が等しくなります。さらに △ABO＝△ABC−△OBC、△DCO＝△DBC−△OBC なので、△ABO と △DCO の面積も等しくなります。面積が等しいことを、△ABC＝△DBC と書きます。

数で：△ABC＝15 cm²、△OBC＝9 cm² のとき、△DBC＝△ABC＝15 cm² なので、△DCO＝△DBC−△OBC＝15−9＝6（cm²）です。

面積を変えずに、四角形を三角形にする：対角線 AC をひき、D を通り AC に平行な直線と、辺 BC の延長との交点を E とします。△ACD＝△ACE（底辺 AC が共通、DE∥AC）なので、四角形 ABCD＝△ABC＋△ACD＝△ABC＋△ACE＝△ABE です。土地の境界の折れ線を、面積を変えずにまっすぐな線にするときも、同じ考えです。

基本平行な2直線 ℓ、m があり、ℓ と m の間の距離は 4 cm です。m 上に AB＝6 cm の線分があり、ℓ 上に2点 P、Q があるとき、△PAB と △QAB の面積をそれぞれ求めなさい。

底辺 AB は共通で、高さはどちらも ℓ と m の間の距離 4 cm です。

6×4÷2	底辺×高さ÷2
＝12	面積（cm²）

答え：どちらも 12 cm²

標準台形 ABCD（AD∥BC）の対角線の交点を O とします。△ABC＝24 cm²、△OBC＝15 cm² のとき、△ABO と △DCO の面積を求めなさい。

△ABO＝△ABC−△OBC です。△DBC＝△ABC（底辺 BC が共通で AD∥BC）なので、△DCO＝△DBC−△OBC も同じ値になります。

24−15	△ABO＝△ABC−△OBC
＝9	面積（cm²）

答え：△ABO＝9 cm²、△DCO＝9 cm²

まとめ

二等辺三角形の2つの底角は等しく、2つの角が等しい三角形は二等辺三角形です。逆は正しいとはかぎらず、正しくないことは反例で示します。直角三角形は、斜辺と1つの鋭角、または斜辺と他の1辺が等しければ合同です。平行四辺形には対辺・対角・対角線の3つの性質があり、反対に5つの条件のどれかが成り立てば、その四角形は平行四辺形といえます。長方形・ひし形・正方形は平行四辺形の仲間で、対角線の性質がちがいます。底辺が共通で、底辺に平行な直線上に頂点がある三角形は、面積が等しくなります。プリントの確認問題で、角を求める計算と証明を手を動かして練習してみてください。