【中2数学】図形の性質と合同の要点まとめ｜無料プリント付き

中2数学「図形の性質と合同」を、図と例題で1つずつ確かめるページです。この単元は、多角形の内角の和 180°×(n−2)・平行線の同位角と錯角・三角形の合同条件の3つが土台で、最後は根拠を示して説明する「証明」に進みます。どの見出しも「答え → 図 → 理由 → 解き方」の順に書いています。紙に書いて練習したい人は、下の無料プリントを使ってください。

多角形の内角の和は？ 180°×(n−2)

📄 プリント1・2ページ

内角と外角：多角形で、となり合う2辺がつくる角を内角、1つの辺と、となりの辺をのばした直線がつくる角を外角といいます。1つの頂点では、内角＋外角＝180° です。

五角形 ABCDE：頂点 A から対角線を2本ひくと、三角形3つに分かれます。5つの内角の和は 180°×3＝540° です。

別の分け方：六角形の内部の点と各頂点を結ぶと、三角形が6個できます。まわりの 360° をひいて、180°×6−360°＝720° となり、同じ内角の和になります。

基本正八角形の1つの内角の大きさを求めなさい。

180×(8−2)	八角形の内角の和（度）
＝1080

1080÷8	正八角形は8つの角が等しい
＝135	1つの内角（度）

答え：135°

標準内角の和が 1440° である多角形は、何角形ですか。

n角形とすると、内角の和は 180°×(n−2) なので、180×(n−2)＝1440 です。

1440÷180	両辺を180でわって n−2 を出す
＝8	n−2＝8

n−2＝8 より n＝10 です。

答え：十角形

多角形の外角の和は？ 何角形でも 360°

📄 プリント3ページ

五角形の5つの頂点で、内角＋外角＝180° なので、全部で 180°×5＝900° です。ここから内角の和 540° をひくと、外角の和は 900°−540°＝360° になります。n角形でも、外角の和は 180×n−180×(n−2)＝360（度）で、n によりません。

多角形のまわりを歩くと、各頂点で外角の分だけ向きを変え、1周するともとの向きにもどります。向きを変えた角の合計が 360° です。

基本正十二角形の1つの外角と、1つの内角の大きさを求めなさい。

360÷12	外角の和÷頂点の数
＝30	1つの外角（度）

180−30	内角＋外角＝180°
＝150	1つの内角（度）

答え：外角 30°、内角 150°

標準五角形の外角のうち、4つが 80°・65°・90°・75° のとき、残りの外角 x の大きさを求めなさい。

360−(80＋65＋90＋75)	外角の和は 360°
＝360−310
＝50	x（度）

答え：50°

対頂角・同位角・錯角：角の位置の名前

📄 プリント4ページ

対頂角が等しいわけ：一直線の角は 180° なので、∠a＋∠b＝180°、∠c＋∠b＝180° です。どちらも 180° から ∠b をひいた角なので、∠a＝∠c になります。

角の位置の名前は、ℓ と m が平行でなくても使えます。

基本1点で交わる3本の直線で、上の半分に 61°・x・48° の3つの角が並んでいます。x の大きさと、x の対頂角 y の大きさを求めなさい。

180−(61＋48)	一直線の角は 180°
＝180−109
＝71	x（度）

y は x の対頂角なので、y＝71° です。

答え：x＝71°、y＝71°

標準上の図で、∠f の錯角、∠g の同位角、∠h の対頂角を、それぞれ答えなさい。

∠f の錯角は ∠d、∠g の同位角は ∠c、∠h の対頂角は ∠f です。

答え：∠d、∠c、∠f

平行線の性質と、平行になる条件

📄 プリント5・6ページ

ℓ∥m のとき、直線 ℓ を n にそってずらすと m に重なります。だから、同位角は等しいといえます（∠a＝∠e など）。これを、もとにする性質として認めます。錯角が等しいわけは、∠c＝∠a（対頂角）と ∠a＝∠e（同位角）から、∠c＝∠e です。

平行になる条件：2つの直線に1つの直線が交わるとき、同位角か錯角が等しければ、その2つの直線は平行です。「ならば」の前と後ろを入れかえた形です。

見た目ではなく、角で平行かどうかを決めます。m の左下の 72° の対頂角は 72° なので、m の右上は 72° です。ℓ の右上も 72° で、同位角が等しいから、ℓ∥m です。n の左上は 106° なので、右上は 180−106＝74 で、ℓ の右上 72° と等しくないため、n は ℓ に平行ではありません。

平行線の間の同じ側の角：ℓ∥m のとき、ℓ と m の間で、交わる直線の同じ側にある2つの角の和は 180° です（上の ∠a〜∠h の図で、錯角 ∠c＝∠e と、∠e＋∠f＝180° から ∠c＋∠f＝180°）。図で ℓ の右下が 63° なら、m の右上 x は 180−63＝117 です。

基本ℓ∥m で、直線 n が交わっています。ℓ の左上の角が 74° のとき、m の右上の角は何度ですか。

m の左上は、ℓ の左上と同位角なので 74° です。m の右上は、そのとなりの角です。

180−74	一直線の角は 180°
＝106	m の右上（度）

答え：106°

標準2つの直線 ℓ、m に直線 n が交わっています。ℓ の右上の角が 112°、m の左下の角が 112° のとき、ℓ と m は平行といえますか。

m の左下の対頂角は m の右上で、112° です。m の右上と ℓ の右上は同位角で、どちらも 112° で等しくなります。同位角が等しいので、ℓ∥m です。

答え：平行といえる（同位角が等しい）

標準ℓ∥m で、直線 n が交わっています。ℓ と m の間にあって n の左側にある2つの角のうち、ℓ 側の角が 71° のとき、m 側の角 x は何度ですか。

ℓ と m の間で n の同じ側にある2つの角の和は 180° です。

180−71	同じ側の2つの角の和は 180°
＝109	x（度）

答え：109°

三角形の内角の和が 180° になるわけ：平行線で証明する

📄 プリント7ページ

△ABC で、頂点 C を通り辺 BA に平行な直線 CE をひき、辺 BC を C の方へのばした点を D とします。

別のひき方：頂点 A を通り辺 BC に平行な直線 ℓ をひき、ℓ の上に点 D（左）と E（右）をとります。錯角で ∠DAB＝∠B、∠EAC＝∠C です。∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°（一直線）なので、∠B＋∠A＋∠C＝180° になります。証明のしかたは1つではありません。

ここまでに使った根拠は、一直線の角は 180°、対頂角は等しい、平行線の同位角・錯角は等しい、の3つです。

基本△ABC の ∠A＝38°、∠B＝85° のとき、∠C の大きさを求めなさい。

180−(38＋85)	三角形の内角の和は 180°
＝180−123
＝57	∠C（度）

答え：57°

標準上の「別のひき方」の証明で、∠DAB＝∠B となる根拠を答えなさい。

DE∥BC で、∠DAB と ∠B は錯角の位置にあります。

答え：平行線の錯角は等しい

三角形の外角の性質：となりにない2つの内角の和

📄 プリント8ページ

前の見出しの図で、頂点 C の外角 ∠ACD は、∠ACE＋∠ECD です。∠ACE＝∠A、∠ECD＝∠B だったので、∠ACD＝∠A＋∠B になります。

外角を求める：∠A＝47°、∠B＝58° の三角形で、頂点 C の外角 x は 47＋58＝105（度）です。

多角形の角を求める：五角形 ABCDE で、∠A＝105°、∠B＝98°、∠C＝120°、D の外角が 73° のとき、D の内角は 180−73＝107（度）です。五角形の内角の和は 540° なので、∠E＝x は 540−(105＋98＋120＋107)＝110（度）です。

基本△ABC の ∠A＝64°、∠B＝29° のとき、頂点 C の外角の大きさを求めなさい。

64＋29	外角は、となりにない2つの内角の和
＝93	C の外角（度）

答え：93°

標準三角形の1つの外角が 138° で、そのとなりにない内角の1つが 75° のとき、もう1つの内角 x の大きさを求めなさい。

138−75	外角＝となりにない2つの内角の和なので、138＝75＋x
＝63	x（度）

答え：63°

平行線の間の折れ線の角：補助線をひく

📄 プリント9ページ

ℓ∥m で、ℓ 上の点 A と m 上の点 B を、右にとがった点 P で結びます。A の角（ℓ の右向きと AP の間）が 38°、B の角（m の右向きと BP の間）が 47° のとき、∠APB＝x を求めます。

考え方1：P を通り ℓ に平行な直線をひくと、錯角で上の部分は 38°、下の部分は 47° なので、x は 38°＋47°＝85° です。

考え方2：AP をのばして m との交点を Q とします。錯角で ∠PQB＝38° です。x は △PQB の外角なので、38°＋47°＝85° です。

外側の角が書いてある形：P が左にとがり、A の角（ℓ の右向きと AP の間）が 126°、B の角（m の右向きと BP の間）が 143° のとき、P を通り ℓ に平行な補助線をひきます。180° からひいて内側の角にしてから考えます。補助線の上の部分は 180−126＝54（度）、下の部分は 180−143＝37（度）で、x＝54＋37＝91（度）です。

標準ℓ∥m で、ℓ 上の点 A と m 上の点 B を、右にとがった点 P で結びます。A の角（ℓ の右向きと AP の間）が 29°、B の角（m の右向きと BP の間）が 54° のとき、∠APB の大きさを求めなさい。

P を通り ℓ に平行な補助線をひくと、錯角で上の部分は 29°、下の部分は 54° になります。

29＋54	補助線で分けた2つの角の和
＝83	∠APB（度）

答え：83°

標準ℓ∥m で、P が左にとがる折れ線があります。A の角（ℓ の右向きと AP の間）が 132°、B の角（m の右向きと BP の間）が 149° のとき、∠APB の大きさを求めなさい。

P を通り ℓ に平行な補助線をひき、180° からひいて内側の角にします。

(180−132)＋(180−149)	補助線の上の部分＋下の部分
＝48＋31
＝79	∠APB（度）

答え：79°

いろいろな形の角：ブーメランの形・星形・二等分線

📄 プリント10ページ

ブーメランの形：∠BDC＝x を求めます。BD をのばして AC との交点を E とします。△ABE の外角 ∠BEC は 50°＋36°＝86°、△EDC の外角 x は 86°＋38°＝124° です。外角の性質を2回使います。

星形の5つの角の和：AC と BE の交点を P、AD と BE の交点を Q とします。△PCE の外角 ∠APQ は ∠c＋∠e、△QDB の外角 ∠AQP は ∠b＋∠d です。△APQ の内角の和は 180° なので、5つの角の和 ∠a＋∠b＋∠c＋∠d＋∠e は 180° です。

角の二等分線の交点：∠A＝66° の △ABC で、∠B、∠C の二等分線の交点を P として x＝∠BPC を求めます。∠B＋∠C は 180−66＝114（度）、半分ずつなので ∠PBC＋∠PCB は 114÷2＝57（度）、△PBC の内角の和は 180° なので x＝180−57＝123（度）です。

標準へこんだ四角形 ABDC（ブーメランの形）で、∠A＝40°、∠ABD＝25°、∠ACD＝30° のとき、へこんだ頂点 D の角 ∠BDC を求めなさい。

BD をのばして AC との交点を E とします。△ABE の外角 ∠BEC は ∠A＋∠ABD、△EDC の外角 ∠BDC は ∠BEC＋∠ACD です。

40＋25	△ABE の外角 ∠BEC（度）
＝65

65＋30	△EDC の外角 ∠BDC＝∠BEC＋∠ACD
＝95	∠BDC（度）

答え：95°

標準∠A＝50° の △ABC で、∠B、∠C の二等分線の交点を P とします。∠BPC の大きさを求めなさい。

180−50	∠B＋∠C
＝130

130÷2	∠PBC＋∠PCB（二等分線で半分ずつ）
＝65

180−65	△PBC の内角の和は 180°
＝115	∠BPC（度）

答え：115°

合同な図形：ぴったり重なる図形と記号 ≡

📄 プリント11ページ

合同の記号：△ABC と △DEF が合同であることを、△ABC≡△DEF と書きます。重なる頂点（対応する頂点）を、同じ順に書きます。

対応する辺と角：四角形 ABCD≡四角形 EFGH で、EFGH は ABCD を裏返した形です。BC＝6 cm、∠D＝70° のとき、対応する辺 FG は BC と等しく 6 cm、対応する角 ∠H は ∠D と等しく 70° です。

対応を見つけて書く：2つの三角形が、A と F、B と D、C と E で重なるとき、重なる頂点を同じ順に書いて、△ABC≡△FDE です。

基本△ABC≡△DEF のとき、辺 BC に対応する辺と、∠E に対応する角を答えなさい。

頂点が A→D、B→E、C→F の順に対応しています。辺 BC に対応するのは辺 EF、∠E に対応するのは ∠B です。

答え：辺 EF、∠B

標準四角形 ABCD≡四角形 EFGH で、CD＝5 cm、∠B＝110° のとき、GH の長さと ∠F の大きさを求めなさい。

頂点が A→E、B→F、C→G、D→H の順に対応しています。GH は CD に、∠F は ∠B に対応します。

答え：GH＝5 cm、∠F＝110°

標準2つの三角形が、A と Q、B と R、C と P で重なるとき、合同を記号で書きなさい。

重なる頂点を同じ順に書きます。

答え：△ABC≡△QRP

三角形の合同条件：3つのどれか

📄 プリント12・13ページ

三角形の辺3つ・角3つの6つが全部分からなくても、上の3つのどれかが分かれば、三角形は1つに決まります。

間でない角では決まらない：AB＝5 cm、AC＝4 cm、∠B＝45° とします。∠B は辺 AB と辺 AC の間の角ではないので、C の位置が2通りになります。△ABC と △ABC′ は、どちらも AB＝5 cm、AC＝4 cm、∠B＝45° ですが、合同ではありません。

図の中の2つの三角形：共通な辺・対頂角・共通な角は、図に印がなくても等しいと言えます。

標準△ABC と △DEF について、次の（1）〜（3）のとき、合同といえますか。合同といえるときは合同条件を、いえないときはその理由を答えなさい。（1）AB＝DE、AC＝DF、∠C＝∠F　（2）BC＝EF、∠B＝∠E、∠A＝∠D　（3）AB＝DE、AC＝DF、∠A＝∠D

（1）∠C は、辺 AB と辺 AC の間の角ではありません。間の角ではない角が等しいだけなので、合同とはいえません。

（2）∠B＝∠E、∠A＝∠D の2つの角が等しいので、3つ目の角 ∠C＝∠F も等しくなります（三角形の内角の和は 180°）。BC＝EF とその両端の角 ∠B＝∠E、∠C＝∠F が等しいので合同です。

（3）辺 AB、AC とその間の角 ∠A が等しいので合同です。

答え：（1）いえない（間の角ではない）　（2）合同（1組の辺とその両端の角）　（3）合同（2組の辺とその間の角）

標準△ABC と △DEF で、AC＝DF、∠A＝∠D のとき、あと1つ何が分かれば △ABC≡△DEF といえますか。2通り答えなさい。

AB＝DE なら、2組の辺 AB＝DE、AC＝DF とその間の角 ∠A＝∠D が等しくなります。∠C＝∠F なら、1組の辺 AC＝DF とその両端の角 ∠A＝∠D、∠C＝∠F が等しくなります。

答え：AB＝DE（2組の辺とその間の角）、∠C＝∠F（1組の辺とその両端の角）

仮定と結論：「ならば」の前と後ろ

📄 プリント14ページ

作図が正しいわけ：中1の作図で、∠XOY の二等分線 OP がひけるのは、なぜでしょうか。△AOP と △BOP で調べます。

この証明では、仮定は「OA＝OB、AP＝BP」、結論は「∠AOP＝∠BOP」です。仮定は、図に印でかきこみます。

仮定と結論の見つけ方：「△ABC≡△DEF ならば、AB＝DE」の仮定は △ABC≡△DEF、結論は AB＝DE です。「x が 6 の倍数ならば、x は 3 の倍数である」の仮定は x が 6 の倍数、結論は x は 3 の倍数です。「対頂角は等しい」は、「2つの角が対頂角ならば、その2つの角は等しい」と「ならば」の形にでき、仮定は2つの角が対頂角、結論はその2つの角は等しい、です。

基本「四角形が正方形ならば、4つの辺の長さは等しい」の仮定と結論を答えなさい。

「ならば」の前が仮定、後ろが結論です。

答え：仮定は四角形が正方形、結論は4つの辺の長さは等しい

標準「平行線の錯角は等しい」を「ならば」の形に書きかえ、仮定と結論を答えなさい。

「2つの直線が平行ならば、錯角は等しい」と書きかえられます。

答え：仮定は2つの直線が平行、結論は錯角は等しい

証明の書き方：根拠・番号・合同条件

📄 プリント15・16ページ

「∠ABC＝∠DCB、∠ACB＝∠DBC ならば、AB＝DC」を証明します。仮定は ∠ABC＝∠DCB と ∠ACB＝∠DBC、結論は AB＝DC です。△ABC と △DCB において、

根拠になることがら：仮定・正三角形や正方形の辺と角（問題文の条件）／共通な辺・共通な角（同じ辺や角をもつとき）／対頂角は等しい（2直線が交わっているとき）／平行線の同位角・錯角は等しい（平行な直線があるとき）／三角形の内角の和・外角の性質（3つ目の角や外角を使うとき）／合同な図形の対応する辺・角は等しい（合同から辺や角が等しいと言うとき）。

平行線と対頂角：線分 AD と BC が点 O で交わっています。「AB∥CD、AO＝DO ならば △ABO≡△DCO」の証明は、AO＝DO（仮定）、∠BAO＝∠CDO（AB∥CD で、平行線の錯角は等しい）、∠AOB＝∠DOC（対頂角は等しい）の3つから、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので △ABO≡△DCO とします。

等しい角に同じ角をたす：△ABC の辺 AB、AC をそれぞれ1辺とする正三角形 ABD、ACE を、△ABC の外側につくります。△ADC≡△ABE を証明します。△ABD は正三角形だから AD＝AB …①、△ACE は正三角形だから AC＝AE …②です。∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝60°＋∠BAC、∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝∠BAC＋60° から ∠DAC＝∠BAE …③です。①、②、③から、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ADC≡△ABE です。正方形なら 90° で、「90°＋共通な角」の形になります。

同じ角をひく形：2つの正三角形 ABC、ADE で、D が辺 BC 上にあり、E が直線 AC について B と反対側にあるとき、∠BAD＝60°−∠DAC、∠CAE＝60°−∠DAC なので、∠BAD＝∠CAE です。

標準線分 AB と線分 CD が点 O で交わっています。AC∥BD、AC＝BD のとき、△ACO≡△BDO を証明しなさい。

仮定は AC∥BD と AC＝BD、結論は △ACO≡△BDO です。△ACO と △BDO において、

言うこと	根拠
AC＝BD …①	仮定から
∠CAO＝∠DBO …②	AC∥BD で、平行線の錯角は等しいから
∠ACO＝∠BDO …③	AC∥BD で、平行線の錯角は等しいから
△ACO≡△BDO	①、②、③から、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

まとめ

n角形の内角の和は 180°×(n−2)、外角の和は何角形でも 360° です。平行線では同位角・錯角が等しく、反対に同位角か錯角が等しければ平行といえます。この性質から、三角形の内角の和が 180° になることや、外角が「となりにない2つの内角の和」になることを証明できます。三角形の合同条件は、3組の辺・2組の辺とその間の角・1組の辺とその両端の角の3つです。証明は、仮定から出発し、根拠と番号を付けて書き、合同条件を示して結論を導きます。プリントの確認問題で、角を求める計算と証明を手を動かして練習してみてください。