【中3数学】二次方程式の要点まとめ｜因数分解・平方根・解の公式の使い分け

中3数学「2次方程式」を、図と例題で1つずつ確かめるページです。x² のある方程式は、平方根の考え・解の公式・因数分解の3つの方法で解けます。この記事では、それぞれの解き方と、どの方法を選ぶかの順番、解が問題に合うかの確かめ方をまとめます。どの見出しも「答え → 図 → 理由 → 解き方」の順に書いています。紙に書いて練習したい人は、下の無料プリントを使ってください。

2次方程式とその解：代入して成り立つ数は、ふつう2つ

📄 プリント1・2ページ

ロープで囲んだ畑：長さ 24m のロープで長方形の畑を囲みます。縦＋横＝12m で、縦を x m、面積を y m² とします（横は 12−x）。

面積を 34m² にしたいのですが、整数の長さでは見つかりません（4m で 32m²、5m で 35m²）。面積が 34m² になる式をつくります。

x² と x が両方残るので、1次方程式の解き方（移項して x＝□ にする）では解けません。新しい解き方を、この先の見出しで順に学びます。

2次方程式かどうかを見分ける：x² があっても、2次方程式とは限りません。移項して整理してから見分けます。

解を見つける：x²−x−12＝0 に、x＝−4 から 5 までの数を1つずつ代入して調べます（y は x²−x−12 の値）。

y が 0 になるのは x＝−3 と x＝4 です。この2つが解です。

解かどうかを確かめる：x²＋11x−26＝0 に x＝2 を代入すると 2²＋11×2−26＝4＋22−26＝0 で、0 になるので解です。x²−37x＋70＝0 に x＝1 を代入すると 1²−37×1＋70＝1−37＋70＝34 で、0 にならないので解ではありません。

基本x²＋2x−15＝0 は、x＝3 と x＝−4 のそれぞれが解かどうかを、代入して調べなさい。

3²＋2×3−15	x＝3 を代入
＝9＋6−15	計算する
＝0	0 になるので解

(−4)²＋2×(−4)−15	x＝−4 を代入（負の数はかっこをつける）
＝16−8−15	計算する
＝−7	0 にならないので解ではない

x²＝数 の形：平方根の考えで ± をつけて解く

📄 プリント3ページ

x²＝□ の形：x²＝225 の x は 225 の平方根なので、x＝±15 です。

係数や数の項があるとき：① 数の項を右辺に移項する → ② 両辺を x² の係数でわって x²＝□ の形にする → ③ □ の平方根を ± をつけて書く → ④ √ の中をできるだけ小さい自然数にする。

3x²＝15 は、両辺を3でわって x²＝5、x＝±√5 です。係数が負の −2x²＋50＝0 は、−2x²＝−50、x²＝25（両辺を −2 でわる）、x＝±5 です。

√ のある解の確かめ：x＝3√2 を x²−18＝0 に代入すると、(3√2)²＝3²×(√2)²＝9×2＝18 なので、(3√2)²−18＝9×2−18＝0 となり成り立ちます。

標準2x²−24＝0 を解きなさい。

2x²−24＝0	もとの式
2x²＝24	−24 を右辺に移項する
x²＝12	両辺を2でわる
x＝±√12	12 の平方根だから
x＝±2√3	√12＝2√3

(x＋m)²＝n の形：かっこの中を1つのものと見る

📄 プリント4ページ

(x−2)²＝7 で、x−2 を M とおくと M²＝7 なので M＝±√7 です。M を x−2 にもどして x を求めます。

x＝2±√7 は、x＝2＋√7 と x＝2−√7 の2つをまとめて書いた形です。

√ を簡単にしてから移項する：(x＋3)²＝20 は、x＋3＝±√20＝±2√5 なので、x＝−3±2√5 です。√ がなくなったら、＋の場合と−の場合に分けて計算します。(x−1)²＝16 は、x−1＝±4、つまり x−1＝4 または x−1＝−4 で、x＝5、−3 です。

数の項が左辺にあるとき：(x＋5)²−8＝0 は、−8 を右辺に移項して (x＋5)²＝8、x＋5＝±√8＝±2√2 より x＝−5±2√2 です。

x の係数が1でないとき：(2x−1)²＝9 は、2x−1＝±3、2x＝1±3 より、両辺を2でわって x＝2、−1 です。

標準(x＋4)²−12＝0 を解きなさい。

(x＋4)²−12＝0	もとの式
(x＋4)²＝12	−12 を右辺に移項する
x＋4＝±√12	平方根の考え
x＋4＝±2√3	√12＝2√3
x＝−4±2√3	4 を右辺に移項する

x²＋px＋q＝0：両辺に (x の係数の半分)² をたして解く

📄 プリント5・6ページ

面積で考える：x²＋6x を面積で考えます。1辺 x の正方形（面積 x²）の右に たて x・横 3、下に たて 3・横 x の長方形（面積 3x）を1つずつつけると、右下のすみが欠けています。そこに 3×3＝9 をたすと、1辺 (x＋3) の正方形になります。x²＋6x＋9＝(x＋3)² （乗法公式②）です。

手順：① 数の項を右辺に移項する → ② 両辺に (x の係数の半分)² をたす → ③ 左辺を (x＋m)² の形にする → ④ 平方根の考えで解く。

最初の畑の方程式：x²−12x＋34＝0（x の係数が負のとき）は、x²−12x＝−34、−12 の半分 −6 の2乗 36 を両辺にたして x²−12x＋36＝−34＋36、(x−6)²＝2、x−6＝±√2 より x＝6±√2 です。√2≒1.414 なので x≒7.41、4.59。縦が約 7.41m なら横は約 4.59m で、問題に合います。

√ が消える例：x²−8x＋7＝0 は、x²−8x＋16＝−7＋16、(x−4)²＝9、x−4＝±3 より x＝7、1 です。

x の係数が奇数のとき：半分は分数のまま2乗してたします。

x² の係数が1でないとき：まず両辺を x² の係数でわって、x² の係数を1にします。2x²＋8x−6＝0 は、両辺を2でわって x²＋4x−3＝0、x²＋4x＝3、x²＋4x＋4＝3＋4、(x＋2)²＝7、x＋2＝±√7 より x＝−2±√7 です。この手順を ax²＋bx＋c＝0 のまま行うと、いつでも使える公式ができます（次の見出し）。

基本x²＋8x＋3＝0 を、(x＋m)²＝n の形に変えて解きなさい。

x²＋8x＋3＝0	もとの式
x²＋8x＝−3	3 を右辺に移項する
x²＋8x＋16＝−3＋16	8 の半分 4 の2乗 16 を両辺にたす
(x＋4)²＝13	左辺を (x＋4)² の形にする
x＋4＝±√13	平方根の考え
x＝−4±√13	4 を右辺に移項する

発展3x²−12x＋6＝0 を、(x＋m)²＝n の形に変えて解きなさい。

3x²−12x＋6＝0	もとの式
x²−4x＋2＝0	両辺を3でわって、x² の係数を1にする
x²−4x＝−2	2 を右辺に移項する
x²−4x＋4＝−2＋4	−4 の半分 −2 の2乗 4 を両辺にたす
(x−2)²＝2	左辺を (x−2)² の形にする
x−2＝±√2	平方根の考え
x＝2±√2	2 を右辺に移項する

解の公式：どんな2次方程式でも解ける

📄 プリント7・8ページ

公式の出し方：前の見出しの手順を、数の例 3x²＋5x＋1＝0 と、a・b・c のままで行います。

3x²＋5x＋1＝0 を公式で確かめると、a＝3、b＝5、c＝1 を代入して x＝−5±√(5²−4×3×1)2×3＝−5±√136 で、25−12＝13 となり、上の答えと同じです。

使い方：右辺を 0 にして、a・b・c を符号ごと書き出し、公式に代入して、√ を簡単にして約分します。

2x²＋7x＋2＝0 は、a＝2、b＝7、c＝2 を代入して x＝−7±√(7²−4×2×2)2×2＝−7±√334（49−16＝33）です。√ の中が2乗の数になると、√ が消えます。2x²−3x−2＝0 は、a＝2、b＝−3、c＝−2 を代入して x＝3±√254（9＋16＝25）＝3±54 より x＝2、−12 です。

基本2x²＋x−6＝0 を、解の公式を使って解きなさい。

2x²＋x−6＝0	a＝2、b＝1、c＝−6
x＝−1±√(1²−4×2×(−6))2×2	解の公式に代入
x＝−1±√494	1＋48＝49
x＝−1±74	√49＝7
x＝32、−2	−1＋74＝32、−1−74＝−2

標準5x²＋3x−1＝0 を、解の公式を使って解きなさい。

5x²＋3x−1＝0	a＝5、b＝3、c＝−1
x＝−3±√(3²−4×5×(−1))2×5	解の公式に代入
x＝−3±√2910	9＋20＝29（29 は素数なので √29 はこれ以上簡単にならない）
x＝−3±√2910

発展3x²−6x−1＝0 を、解の公式を使って解きなさい。

3x²−6x−1＝0	a＝3、b＝−6、c＝−1
x＝−(−6)±√((−6)²−4×3×(−1))2×3	解の公式に代入
x＝6±√486	−(−6)＝6、36＋12＝48
x＝6±4√36	√48＝4√3
x＝3±2√33	分子の2つの項と分母を2でわる

因数分解で解く：かけて0なら、どちらかが0

📄 プリント9ページ

手順：① 右辺を 0 にする → ② 左辺を因数分解する（中3の多項式の公式①′〜④′）→ ③ かっこごとに「＝0」の1次方程式を解く。

解が1つだけ・公式を使う因数分解：x²−10x＋25＝0 は、(x−5)²＝0（公式③′）、x−5＝0 で、解はx＝5だけです（同じかっこが2つ）。x²−16＝0 は、(x＋4)(x−4)＝0（公式④′）より x＝±4 です。

x²＝4x のとき：両辺を x でわって x＝4 とすると、x＝0 のとき 0 でわることになり、x＝0 という解がなくなります。移項して因数分解します。

x の係数が1でないかっこも同じです。(2x−3)(x＋4)＝0 は、2x−3＝0 または x＋4＝0 で、2x＝3 から x＝32、x＝−4 です。

標準x²＝7x を解きなさい。

x²＝7x	もとの式
x²−7x＝0	7x を左辺に移項する
x(x−7)＝0	共通因数 x でくくる
x＝0、7	x＝0 または x−7＝0

基本x²＋12x＋36＝0 を解きなさい。

x²＋12x＋36＝0	もとの式
(x＋6)²＝0	公式②′
x＝−6	x＋6＝0。解は1つだけ

解き方の使い分け：まず整理、次に因数分解 → 平方根の考え → 解の公式

📄 プリント10ページ

整理してから解く：(x−2)(x＋6)＝4x−3 は、かっこを外して x²＋4x−12＝4x−3、移項して整理すると x²＝9、平方根の考えで x＝±3 です。分数の係数 13x²＋x−6＝0 は、両辺に3をかけて x²＋3x−18＝0、(x＋6)(x−3)＝0 より x＝−6、3 です。小数の係数 0.2x²−0.6x−0.8＝0 は、両辺に10をかけて 2x²−6x−8＝0、両辺を2でわって x²−3x−4＝0、(x−4)(x＋1)＝0 より x＝4、−1 です。

置きかえ：(x＋3)²−2(x＋3)−8＝0 は、同じ式 x＋3 を A とおきます。

x＋3＝4 または x＋3＝−2 と A を x＋3 にもどして、3 を移項し、x＝1、−5 です（A の値で止めない）。

標準x(x−1)＝3x＋5 を解きなさい。

x(x−1)＝3x＋5	もとの式
x²−x＝3x＋5	左辺を展開する
x²−4x−5＝0	移項して整理する
(x−5)(x＋1)＝0	因数分解する
x＝5、−1	それぞれ解く

発展(x−2)²＋(x−2)−6＝0 を解きなさい。

A²＋A−6＝0	x−2 を A とおく
(A＋3)(A−2)＝0	因数分解する
A＝−3、2	それぞれ解く
x−2＝−3 または x−2＝2	A を x−2 にもどす
x＝−1、4	2 を移項する

解が分かっているとき：解を代入して、文字の方程式に

📄 プリント11ページ

手順：① 分かっている解を x に代入する → ② a の1次方程式を解く → ③ a をもとの式に入れて、2次方程式を解く → ④ もう1つの解を答える。

文字が x の係数にあるとき：x²＋ax−54＝0 の解の1つが 6 のとき、a の値ともう1つの解を求めます。

文字が数の項にあるとき：x²−5x＋a＝0 の解の1つが 2 のとき、2²−5×2＋a＝0、4−10＋a＝0 より a＝6 です。x²−5x＋6＝0 は (x−2)(x−3)＝0 なので、もう1つの解は 3 です。

2つの解が分かっているとき：x²＋ax＋b＝0 の解が −2 と 5 のとき、x² の係数が1で、x＝−2 になる式は x＋2、x＝5 になる式は x−5 なので、(x＋2)(x−5)＝0 です。

x²−3x−10＝0 と x²＋ax＋b＝0 をくらべて、a＝−3、b＝−10 です。

標準2次方程式 x²＋ax＋12＝0 の解の1つが 3 であるとき、a の値ともう1つの解を求めなさい。

3²＋a×3＋12＝0	x＝3 を代入する
9＋3a＋12＝0	計算する
3a＝−21	数を右辺に移項する
a＝−7	両辺を3でわる

x²−7x＋12＝0	a＝−7 を入れた方程式
(x−3)(x−4)＝0	因数分解する
x＝3、4	もう1つの解は 4

標準2次方程式 x²＋ax＋b＝0 の解が 1 と −6 であるとき、a、b の値を求めなさい。

(x−1)(x＋6)	解が 1 と −6 になる式
＝x²＋5x−6	展開する

答え：a＝5、b＝−6

2次方程式の利用の手順：畑に通路をつくる

📄 プリント12ページ

問題：縦 16m、横 24m の長方形の土地に、同じ幅の通路を縦に1本・横に1本つくり、残りを畑にします。畑の面積を 308m² にするには、通路の幅を何 m にすればよいですか。

左の図の斜線が通路です。通路を端に寄せても、畑を切って寄せ集めるだけなので、畑の面積は変わりません（右の図）。畑は縦 (16−x) m、横 (24−x) m の長方形になります。通路の幅を x m とします。通路は土地の縦 16m の中に入るので、0＜x＜16 です。

38m は土地の縦 16m より長いので、問題に合いません。答えは2mです。確かめは (16−2)(24−2)＝14×22＝308 です。

標準縦 20m、横 30m の長方形の土地に、同じ幅の通路を縦に1本・横に1本つくり、残りを畑にします。畑の面積を 459m² にするには、通路の幅を何 m にすればよいですか。

通路の幅を x m とすると、畑は縦 (20−x) m、横 (30−x) m です。通路は土地の縦 20m の中に入るので、0＜x＜20 です。

(20−x)(30−x)＝459	畑の縦×横＝面積
600−50x＋x²＝459	左辺を展開する
x²−50x＋141＝0	移項して整理する
(x−3)(x−47)＝0	因数分解する（積 141、和 50 の2数は 3 と 47）
x＝3	x＝3、47。0＜x＜20 だから x＝3

答え：3m（確かめ：(20−3)(30−3)＝17×27＝459）

数の問題：自然数などの条件で、解を選ぶ

📄 プリント13ページ

連続する自然数：連続する2つの自然数があり、それぞれを2乗した数の和が 85 のとき、2つの自然数を求めます。小さいほうを n とすると、大きいほうは n＋1 です。

n は自然数なので n＝6。2つの自然数は 6 と 7 です（確かめ：6²＋7²＝85）。

「〜より□小さい」の式の作り方：先に、どちらが大きいかを決めます。小さいほう＝大きいほう−□、大きいほう＝小さいほう＋□ です。たとえば 12 は 52 より 40 小さいので、12＝52−40、52＝12＋40 と表せます。

標準ある自然数 n の2乗は、n を6倍した数より 16 大きくなります。n を求めなさい。

n の2乗のほうが大きいので、「大きいほう＝小さいほう＋16」と表します。

n²＝6n＋16	n の2乗＝6倍した数＋16
n²−6n−16＝0	すべての項を左辺に移項する
(n−8)(n＋2)＝0	因数分解する
n＝8、−2	それぞれ解く

答え：n＝8（自然数なので −2 は除く。確かめ：8²＝64、6×8＋16＝64）

標準連続する2つの自然数の積が 56 のとき、2つの自然数を求めなさい。

小さいほうを n とすると、大きいほうは n＋1 です。

n(n＋1)＝56	積＝56
n²＋n−56＝0	展開して移項する
(n＋8)(n−7)＝0	因数分解する
n＝−8、7	それぞれ解く

答え：7 と 8（自然数なので −8 は除く。確かめ：7×8＝56）

紙で作る容器の問題：切り取る長さは両側で2つ分

📄 プリント14ページ

問題：縦が横より 4cm 長い長方形の紙の四すみから、1辺 3cm の正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器を作ったところ、容積が 180cm³ になりました。紙の横の長さは何 cm ですか。

紙の横を x cm とすると、縦は (x＋4) cm です。底面の横は両側から 3cm ずつ切るので (x−6) cm、縦は (x＋4−6)＝(x−2) cm、高さは 3cm です。底面の横 x−6 が正なので、x＞6 です。

数で試す表：x を決めると、容積 y（cm³）は y＝3(x−6)(x−2) で求まります。

表では x＝12 のとき 180 になります。いつも表で見つかるとは限らないので、方程式をつくって解きます。

答えは12cmです。確かめ：底面は横 12−6＝6cm、縦 12−2＝10cm で、高さ 3cm。6×10×3＝180 で、容積が合います。

発展縦が横より 6cm 長い長方形の紙の四すみから、1辺 2cm の正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器を作ったところ、容積が 110cm³ になりました。紙の横の長さは何 cm ですか。

紙の横を x cm とすると、縦は (x＋6) cm です。底面の横は両側から 2cm ずつ切るので (x−4) cm、縦は (x＋6−4)＝(x＋2) cm、高さは 2cm です。底面の横 x−4 が正なので、x＞4 です。

2(x−4)(x＋2)＝110	容積＝底面積×高さ
(x−4)(x＋2)＝55	両辺を2でわる
x²−2x−8＝55	左辺を展開する
x²−2x−63＝0	移項して整理する
(x−9)(x＋7)＝0	因数分解する
x＝9	x＝9、−7。x＞4 だから x＝9

答え：9cm（確かめ：底面は横 9−4＝5cm、縦 9＋2＝11cm、高さ 2cm で、5×11×2＝110）

動く点の問題：x 秒後の長さを x の式で表し、範囲を先に書く

📄 プリント15ページ

三角形の面積：AB＝8cm、BC＝16cm の長方形 ABCD で、点 P は A を出発して辺 AB 上を B まで毎秒 1cm、点 Q は B を出発して辺 BC 上を C まで毎秒 2cm の速さで、同時に動きます。△PBQ の面積が 15cm² になるのは何秒後ですか。

x 秒後とすると、AP＝x、PB＝8−x、BQ＝2x です。P が B に着くのも、Q が C に着くのも 8 秒後なので、0＜x＜8 です。

3 も 5 も 0＜x＜8 に合うので、答えは3秒後と5秒後です（2つとも問題に合うこともあります）。

全体からまわりをひく：1辺 10cm の正方形 ABCD で、点 P は A から辺 AB 上を毎秒 1cm、点 Q は A から辺 AD 上を毎秒 2cm で同時に動き、Q が D に着いたら P も止まります。四角形 PBCDQ の面積が 91cm² になるのは何秒後ですか。x 秒後とすると AP＝x、AQ＝2x です。Q が D に着くのは 5 秒後で、P が B に着く 10 秒後より先なので、0＜x≦5 です。△APQ＝12×x×2x＝x² です。

0＜x≦5 なので x＝3。答えは3秒後です。

発展AB＝10cm、BC＝15cm の長方形 ABCD で、点 P は A を出発して辺 AB 上を B まで毎秒 1cm、点 Q は B を出発して辺 BC 上を C まで毎秒 3cm の速さで、同時に動き、Q が C に着いたら P も止まります。△PBQ の面積が 24cm² になるのは何秒後ですか。

x 秒後とすると、AP＝x、PB＝10−x、BQ＝3x です。Q が C に着くのは 15÷3＝5（秒後）なので、0＜x≦5 です。

12×3x×(10−x)＝24	△PBQ＝12×BQ×PB
3x(10−x)＝48	両辺に2をかける
x(10−x)＝16	両辺を3でわる
x²−10x＋16＝0	展開して移項する
(x−2)(x−8)＝0	因数分解する
x＝2	x＝2、8。0＜x≦5 だから x＝2

答え：2秒後（確かめ：PB＝8、BQ＝6 で、12×6×8＝24。x＝8 は Q が C に着いたあとなので問題に合わない）

まとめ

2次方程式は、x²＝□ や (x＋m)²＝n の形なら平方根の考えで ± をつけて解き、どんな式にも使える解の公式は a・b・c を符号ごと代入します。因数分解で解くときは、右辺を 0 にして「AB＝0 ならば A＝0 または B＝0」を使います。整理してから因数分解、平方根の考え、解の公式の順に選び、文章題では解が問題に合うかを確かめます。プリントの確認問題で、解き方の選び方と解の確かめを手を動かして練習してみてください。