【中2数学】一次関数の要点まとめ｜傾きと切片、式の求め方、交点

中2数学「1次関数」で、変化の割合・傾きと切片・式の求め方から、連立方程式との関係（交点）や、速さ・料金・動く点の問題までを、グラフと例題で1つずつ確かめるページです。この単元は「y＝ax＋b の a が傾き（変化の割合）、b が切片」と「2つのグラフの交点は連立方程式の解」の2つが土台です。どの見出しも「答え → 解き方 → 例題」の順に書いています。紙に書いて練習したい人は、下の無料プリントを使ってください。

1次関数とは：y＝ax＋b の形で表される関数

📄 プリント1・2ページ

水の温度の上がり方：20℃の水をなべに入れて熱しました。熱し始めてから x 分後の水の温度を y℃ として、1分ごとに調べました。

点は一直線に並びますが、原点 (0, 0) を通らない（x＝0 で y＝20）ので、比例ではありません。1分ごとに6℃ずつ上がるので、上がった温度は6x℃で、はじめの温度20℃をたして y＝6x＋20 と表せます。比例の式 y＝6x に、決まった数20をたした形です。80℃になる時間は、中1の方程式で求められます。

y を x の式で表して見分ける：場面を式に表して、y＝ax＋b の形になるかどうかを調べます。

y＝4x は b＝0 なので比例ですが、1次関数でもあります。y＝24x は反比例、y＝x² は x² をふくむので、y＝ax＋b の形になりません。y＝9−x のように b が先に書いてあっても、x の1次式なら1次関数です（a＝−1、b＝9）。

標準次のア〜エのうち、y が x の1次関数であるものをすべて選びなさい。ア y＝4−3x　イ y＝10x　ウ y＝2x²　エ y＝x3＋1

ア は a＝−3、b＝4 の1次関数です。イ は x が分母にあり、ウ は x² があるので、1次関数ではありません。エ は y＝13x＋1 と書けるので、a＝13、b＝1 の1次関数です。

答え：ア、エ

標準1個40円のあめを x 個、100円の箱に入れて買ったときの代金を y 円とします。y を x の式で表し、代金が780円になるときのあめの個数を求めなさい。

代金は、あめの代金40x円に箱の代金100円をたしたものなので y＝40x＋100 です（a＝40、b＝100 の1次関数）。

40x＋100＝780	y＝780 を代入
40x＝680	100を移項する
x＝17	両辺を40でわる

確かめ：40×17＋100＝680＋100＝780 で、個数は自然数です。

答え：y＝40x＋100、17個

変化の割合：1次関数ではいつも a に等しい

📄 プリント3ページ

x が1増えると、y はいつも2ずつ増えています。y＝2x＋5 で x が1から4まで増加するときを計算します。

a が負のとき：y＝−4x＋3 で x が −1 から 2 まで増加するときは、x＝−1 のとき y＝7、x＝2 のとき y＝−5 なので、−5−72−(−1)＝−123＝−4 で、a と同じです。y が減るので、y の増加量は負の数になります。x が5増加すると、y の増加量は −4×5＝−20（20減る）です。

反比例とくらべる：反比例 y＝6x では、x が1から2のとき 3−62−1＝−3、x が2から3のとき 2−33−2＝−1 で、変化の割合は区間によってちがい、一定ではありません。変化の割合が一定なのは1次関数の特ちょうです。

基本1次関数 y＝5x−2 で、x の増加量が4のとき、y の増加量を求めなさい。

変化の割合は a＝5 で一定なので、y の増加量は 5×4＝20 です。

答え：20

標準1次関数 y＝−3x＋8 で、x が2から5まで増加するときの変化の割合と、y の増加量を求めなさい。

−7−25−2	x＝2 のとき y＝2、x＝5 のとき y＝−7
＝−93	y の増加量は −7−2＝−9
＝−3	変化の割合（a＝−3 と同じ）

答え：変化の割合 −3、y の増加量 −9

1次関数のグラフ：切片と傾き

📄 プリント4・5ページ

どの x でも、y＝2x＋5 の値は y＝2x の値より5大きくなっています。y＝2x のグラフの点を全部5だけ上に動かすと、y＝2x＋5 のグラフの点になります。b が負の数のときは下へ動かし、y＝2x−4 は y＝2x を y軸の負の方向に4だけ平行移動した直線で、切片は −4、y軸と (0, −4) で交わります。

傾き：y＝3x＋1 では、x が1増えると y は3増えるので、グラフは右へ1進むと上へ3進む直線です。傾きが分数の y＝23x＋1 は、右へ3進むと上へ2進みます（分母の数だけ右へ進むと、上へ進む数が整数になります）。傾きが負の y＝−2x＋1 は、右へ1進むと下へ2進みます。

3本とも切片が1で (0, 1) を通りますが、傾きで向きと急さがちがいます。符号ごと読むので、y＝−35x−2 の傾きは −35、切片は −2 です。傾きが同じ y＝3x＋1 と y＝3x−6 は平行で、y＝3x−6 は y＝3x を y軸の負の方向に6だけ平行移動した直線です。

基本1次関数 y＝−25x−3 の傾きと切片を答えなさい。

符号ごと読みます。傾きは −25、切片は −3 で、グラフは (0, −3) を通る右下がりの直線です。

答え：傾き −25、切片 −3

標準y＝4x−7 のグラフは、y＝4x のグラフをどのように平行移動した直線ですか。また、y＝4x−7 に平行な直線を、ア〜ウから選びなさい。ア y＝−4x−7　イ y＝4x＋2　ウ y＝7x−4

b＝−7 なので、y軸の負の方向に7だけ平行移動した直線です。傾きが等しい直線が平行なので、傾き4のイが平行です。

答え：y軸の負の方向に7、イ

1次関数のグラフのかき方と、y の変域

📄 プリント6ページ

傾きが分数なら右へ分母の数、上へ分子の数進み、a が負なら下へ進みます。y＝−34x＋2 は、切片が2なので (0, 2) をとり、傾きが −34 なので右へ4、下へ3進んだ (4, −1) をとって、2点を結びます。

34x＋2 のグラフ。(0, 2) から右へ4、下へ3進んだ点 (4, −1) をとって結んだ直線” font-family=”inherit” fill-rule=”nonzero” width=”180″ height=”151″ viewBox=”0 -1 180 151″>xyO−2246−3−21234右へ4下へ3

切片が整数でないとき（y＝23x−13 など）は、x、y がどちらも整数になる点をさがします。x＝2 のとき 23×2−13＝1、x＝−1 のとき 23×(−1)−13＝−1 なので、(2, 1) と (−1, −1) をとります。

x の変域から y の変域を求める：グラフの x の変域の部分だけが実線で、はしの点は ≦ なら●、＜ なら○です。

a が負のときは、x が大きいほど y は小さくなります。y＝−3x＋2（−1≦x≦2）は、x＝−1 のとき y＝5、x＝2 のとき y＝−4 なので、−4≦y≦5（小さい方から書く）です。

＜ をふくむとき：y＝−12x＋2（−2＜x≦4）は、x＝−2 のとき y＝3（ふくまない）、x＝4 のとき y＝0 なので、0≦y＜3 です。

12x＋2（−2＜x≦4）のグラフ。x＝4 の点は●、x＝−2 の点は○で、○の点はふくまない” font-family=”inherit” fill-rule=”nonzero” width=”196″ height=”119″ viewBox=”0 -1 196 119″>xyO−4−2241234

基本1次関数 y＝12x＋1 で、x の変域が −4≦x≦2 のとき、y の変域を求めなさい。

x＝−4 のとき y＝12×(−4)＋1＝−1、x＝2 のとき y＝12×2＋1＝2 です。a が正なので、x が大きいほど y も大きくなります。

答え：−1≦y≦2

標準1次関数 y＝−4x＋3 で、x の変域が −1＜x≦2 のとき、y の変域を求めなさい。

x＝−1 のとき y＝−4×(−1)＋3＝7（x＝−1 はふくまないので y＝7 もふくまない）、x＝2 のとき y＝−4×2＋3＝−5 です。a が負なので、小さい方から書きます。

答え：−5≦y＜7

1次関数の式の求め方：グラフ・1点・2点から

📄 プリント7・8ページ

グラフから：グラフが y軸と (0, 3) で交わるので切片は3です。(0, 3) から (2, 2) へ、右へ2進むと下へ1進むので、傾きは 2−32−0＝−12 で、y＝−12x＋3 です。

傾きと1点が分かっているとき：傾きが8で、点 (1, 3) を通る直線の式を求めます。傾き8は a に入れます。

変化の割合と1組の値・平行な直線：変化の割合は傾きと同じです。変化の割合が −5 で x＝−2 のとき y＝3 なら、y＝−5x＋b に代入して 3＝−5×(−2)＋b、3＝10＋b、b＝−7 より y＝−5x−7 です。y＝−12x＋3 に平行で点 (4, −1) を通る直線は、傾きが同じ −12 なので、−1＝−12×4＋b、−1＝−2＋b、b＝1 より y＝−12x＋1 です。

2点を通る直線：2点 (−1, 10)、(2, −2) を通る直線は、まず傾きを出します。

y＝−4x＋b に (−1, 10) を代入して 10＝−4×(−1)＋b、10＝4＋b、b＝6 より y＝−4x＋6 です。「x＝2 のとき y＝1、x＝6 のとき y＝7」のように、x、y の2組の値で与えられても、(2, 1)、(6, 7) を通ると考えて同じです。傾きは 7−16−2＝32 で、1＝32×2＋b、b＝−2 より y＝32x−2 になります。

連立方程式で a と b を求める：y＝ax＋b に2点の x、y を代入すると、a と b の連立方程式ができます。(−1, 10)、(2, −2) では 10＝−a＋b …①、−2＝2a＋b …② で、②−① から −12＝3a、a＝−4。①に代入して 10＝4＋b、b＝6 となり、同じ y＝−4x＋6 が求まります。傾きを出すやり方は計算が短く、連立方程式は傾きが分数になりそうなときも同じ手順でできます。

基本傾きが −2 で、点 (3, 1) を通る直線の式を求めなさい。

y＝−2x＋b	傾き −2 を a に入れる
1＝−2×3＋b	(3, 1) を代入
b＝7	1＝−6＋b から、−6を移項する
y＝−2x＋7	式

確かめ：x＝3 のとき y＝−2×3＋7＝1 で、点 (3, 1) を通ります。

標準y＝4x−1 に平行で、点 (−1, 2) を通る直線の式を求めなさい。

y＝4x＋b	平行なので傾きは同じ4
2＝4×(−1)＋b	(−1, 2) を代入
b＝6	2＝−4＋b から、−4を移項する
y＝4x＋6	式

確かめ：x＝−1 のとき y＝4×(−1)＋6＝2 で、点 (−1, 2) を通ります。

標準2点 (−2, −1)、(4, 8) を通る直線の式を求めなさい。

8−(−1)4−(−2)	傾き。上も下も「あとの点−前の点」
＝96
＝32	傾き

y＝32x＋b に (−2, −1) を代入して −1＝32×(−2)＋b、−1＝−3＋b、b＝2 です。

答え：y＝32x＋2

確かめ：x＝4 のとき y＝32×4＋2＝8 で、点 (4, 8) も通ります。

方程式 ax＋by＝c のグラフと、y＝k・x＝h

📄 プリント9・10ページ

x＋y＝7 の解：x＋y＝7 の解を表にして、座標平面に点をとります。

x＝0.5、y＝6.5 のような整数でない組も解です。解を座標とする点は、1本の直線の上に並びます。x＋y＝7 を y について解くと y＝−x＋7 で、この直線は1次関数 y＝−x＋7 のグラフです。

y について解いて、傾きと切片を読む：2x＋3y＝6 は次のように解きます。

傾き −23、切片2なので、(0, 2) から右へ3、下へ2進んだ (3, 0) をとって結びます。y の係数が負の 3x−2y＝10 は、−2y＝−3x＋10 の両辺を −2 でわって、どの項の符号も変わるので y＝32x−5 です。

軸との交点で2点をとる：4x−3y＝12 は、y について解かなくても、軸との交点でかけます。

y＝0 を代入すると 4x＝12、x＝3 で (3, 0) です。(0, −4) と (3, 0) を結ぶ直線がグラフです（図のア）。3x−4y＝2 のように、x＝0 のとき y＝−12 で方眼の交わる所に点がとれないときは、x、y がどちらも整数になる点をさがします。x＝2 のとき 6−4y＝2 から y＝1、x＝−2 のとき −6−4y＝2 から y＝−2 なので、(2, 1) と (−2, −2) を結びます。

y だけの式・x だけの式：3y＝−9 は両辺を3でわると y＝−3 です。x がどんな値でも y は −3 なので、点 (0, −3) を通り、x軸に平行な直線です（図のイ）。2x＝8 は x＝4 で、y がどんな値でも x は4なので、点 (4, 0) を通り、y軸に平行な直線です（図のウ）。

基本2x−5y＝10 のグラフが x軸、y軸と交わる点の座標を求めなさい。

x＝0 を代入すると −5y＝10 より y＝−2 で、y軸との交点は (0, −2) です。y＝0 を代入すると 2x＝10 より x＝5 で、x軸との交点は (5, 0) です。

答え：x軸と (5, 0)、y軸と (0, −2)

標準方程式 5x＋2y＝10 を y について解き、グラフの傾きと切片を答えなさい。

5x＋2y＝10	もとの式
2y＝−5x＋10	5x を移項する
y＝−52x＋5	両辺を2でわる

確かめ：x＝2 のとき y＝−52×2＋5＝0 で、5×2＋2×0＝10 と合います。

答え：傾き −52、切片 5

連立方程式の解は、2つのグラフの交点

📄 プリント11ページ

グラフで解く：x＋y＝7 …①、4x−y＝8 …② で、① のグラフは y＝−x＋7（ア）、② は y について解くと y＝4x−8 で、(2, 0) と (3, 4) を通る直線（イ）です。2つのグラフの交点は (3, 4) で、計算でも同じになります。

計算で交点を求める：y＝5x＋3 と y＝−3x−5 は、y が等しいので右辺どうしを等しくします。

交点が分数になることもあります。y＝3x＋3 と y＝−x＋1 では、3x＋3＝−x＋1、4x＝−2 より x＝−12。y＝3×(−12)＋3＝32 で、交点は (−12, 32) です。y＝… の式と ax＋by＝c の式の組は、y＝… を ax＋by＝c の y に代入して y を消します（中2の連立方程式の代入法）。

平行な2直線：y＝5x＋3 と y＝5x−2 は傾きが同じで平行なので、交わりません。両方の式を成り立たせる x、y の組が無いので、この連立方程式には解がありません。

標準2直線 y＝2x−1 と y＝−x＋8 の交点の座標を求めなさい。

2x−1＝−x＋8	y が等しい
3x＝9	移項する
x＝3	3でわる
y＝2×3−1	y＝2x−1 に代入
y＝5	交点 (3, 5)

確かめ：y＝−x＋8 に x＝3 を入れると y＝5 で、合っています。

答え：(3, 5)

標準2直線 y＝x＋3 と 3x＋2y＝16 の交点の座標を求めなさい。

3x＋2(x＋3)＝16	y＝x＋3 を 3x＋2y＝16 の y に代入。かっこをつける
5x＋6＝16	かっこをはずして、まとめる
5x＝10	6を移項する
x＝2	5でわる
y＝2＋3	y＝x＋3 に代入
y＝5	交点 (2, 5)

確かめ：3×2＋2×5＝16 で、合っています。

答え：(2, 5)

2直線と三角形の面積：軸の上の辺を底辺にする

📄 プリント12ページ

直線 ℓ：y＝x＋4、直線 m：y＝−2x＋10 があります。ℓ と x軸の交点を A、m と x軸の交点を B、ℓ と m の交点を P とします。A、B は y＝0 を代入して求めます。

m は 0＝−2x＋10 より x＝5 で B(5, 0)、交点 P は x＋4＝−2x＋10、3x＝6、x＝2、y＝2＋4＝6 より P(2, 6) です。

△PAB：底辺 AB は x軸の上で A(−4, 0)、B(5, 0)、高さは P の y座標6です。AB の長さは 5−(−4)＝9 なので、面積は 12×9×6＝27。△PCD：ℓ、m と y軸の交点が C(0, 4)、D(0, 10) で、底辺 CD は y軸の上、高さは P の x座標2です。CD の長さは 10−4＝6 なので、面積は 12×6×2＝6 です。

面積を2等分する直線：点 P を通り △PAB の面積を2等分する直線は、底辺 AB の中点 M を通ります（△PAM と △PBM は、底辺 AM＝BM で高さが同じです）。中点の x座標は、2点の x座標をたして2でわって −4＋52＝12 なので、M(12, 0) です。M と P(2, 6) を通る直線は、傾きは、x の増加量が 2−12＝32、y の増加量が6なので 6÷32＝4 です。y＝4x＋b に P を代入して 6＝8＋b、b＝−2 より y＝4x−2 です。

標準直線 ℓ：y＝2x＋2 と直線 m：y＝−x＋5 があります。ℓ と x軸の交点を A、m と x軸の交点を B、ℓ と m の交点を P とするとき、△PAB の面積を求めなさい。

A は 0＝2x＋2 より A(−1, 0)、B は 0＝−x＋5 より B(5, 0) です。P は 2x＋2＝−x＋5、3x＝3、x＝1、y＝2×1＋2＝4 より P(1, 4) です。

12×(5−(−1))×4	底辺 AB＝5−(−1)、高さは P の y座標4
＝12×6×4
＝12	△PAB の面積

答え：12

発展上の △PAB（A(−1, 0)、B(5, 0)、P(1, 4)）の面積を2等分し、点 P を通る直線の式を求めなさい。

AB の中点 M を通ればよいので、M の x座標は −1＋52＝2、M(2, 0) です。M(2, 0) と P(1, 4) を通る直線の傾きを求めます。

4−01−2	傾き。上も下も「P−M」
＝4−1
＝−4	傾き

y＝−4x＋b に M(2, 0) を代入して 0＝−8＋b、b＝8 なので y＝−4x＋8 です。確かめ：x＝1 のとき y＝−4＋8＝4 で、P(1, 4) も通ります。

答え：y＝−4x＋8

1次関数とみなす：ほぼ一直線なら直線の式で予想

📄 プリント13ページ

保冷バッグの飲み物：冷やしたペットボトルの飲み物を保冷バッグに入れ、x 分後の温度 y℃ を10分ごとに測りました。15℃になるのは、いつごろでしょうか。

座標平面に点をとると、ほぼ一直線に並びます。(0, 4) と (40, 12) を通る直線の式をつくります（どの点も0.1℃以内です）。傾きは 12.0−4.040−0＝0.2、切片は x＝0 のときの y の4なので y＝0.2x＋4 です。15℃になる時間を求めます。

ばねの長さ：ばねにおもりをつるし、おもりの重さ x g とばねの長さ y cm を測った表で、ばねの長さが12.5cm になるおもりの重さを予想します。

(0, 10) と (80, 14) を通る直線とみなすと、傾きは 14−1080−0＝0.05 で y＝0.05x＋10 です。0.05x＋10＝12.5 より 0.05x＝2.5、x＝50 で、およそ50gと予想できます。

標準長さ20cm のろうそくに火をつけ、x 分後の長さ y cm を10分ごとに測りました。長さが5cm になるのは、およそ何分後と予想できますか。（x、y）＝(0, 20.0)、(10, 18.1)、(20, 15.9)、(30, 14.1)、(40, 12.0)

点はほぼ一直線に並びます。(0, 20) と (40, 12) を通る直線とみなすと、傾きは 12−2040−0＝−840＝−0.2、切片は20なので y＝−0.2x＋20 です（どの点もこの直線から0.1cm 以内です）。

−0.2x＋20＝5	長さが5cm になる
−0.2x＝−15	20を移項する
x＝75	−0.2でわる（およそ75分後）

答え：およそ75分後

速さのグラフ：傾きが速さ、追いつく・すれちがいは交点

📄 プリント14ページ

追いつく：弟は9時に家を出て、家から1800m の図書館へ分速60m で歩きました。兄は9時10分に家を出て、同じ道を自転車で分速180m で追いかけました。9時 x 分の家からの道のりを y m とします。弟の式は y＝60x（0≦x≦30）です。兄の式は、傾き180で、9時10分に家 (10, 0) を出るので次のようになります。

追いつくのは2つのグラフの交点です。60x＝180x−1800 を解くと、−120x＝−1800 より x＝15、弟の式に代入して y＝60×15＝900 です。9時15分、家から900m の地点で追いつきます。

標準妹は9時に家を出て、分速50m で駅へ向かいました。姉は9時6分に家を出て、同じ道を自転車で分速150m で追いかけました。9時 x 分の家からの道のりを y m として、姉の式と、姉が妹に追いつく時刻、家からの道のりを求めなさい。

妹の式は y＝50x です。姉は傾き150で、(6, 0) を通ります。

0＝150×6＋b	(6, 0) を y＝150x＋b に代入
b＝−900	150×6＝900 を移項する
y＝150x−900	姉の式

50x＝150x−900	追いつく＝交点
−100x＝−900	移項する
x＝9	−100でわる
y＝50×9	妹の式に代入
y＝450	家から450m

確かめ：姉の式に x＝9 を入れると 150×9−900＝450 で、合っています。

答え：姉の式 y＝150x−900、9時9分、家から450mの地点

発展P町とQ町は同じ道沿いにあり、道のりは2000m です。Cさんは10時にP町を出て、Q町へ分速50m で歩きました。Dさんは10時8分にQ町を出て、P町へ自転車で分速150m で向かいました。10時 x 分のP町からの道のりを y m として、2人がすれちがう時刻と、P町からの道のりを求めなさい。

Cさんの式は y＝50x です。Dさんは P町に近づくので傾きは −150 で、10時8分にQ町 (8, 2000) を出ます。

2000＝−150×8＋b	傾き −150、(8, 2000) を代入
b＝3200	−150×8＝−1200 を移項する
y＝−150x＋3200	Dさんの式

50x＝−150x＋3200	すれちがう＝交点
200x＝3200	移項する
x＝16	200でわる
y＝50×16	Cさんの式に代入
y＝800	P町から800m

確かめ：Dさんの式に x＝16 を入れると −150×16＋3200＝800 で、合っています。Dさんは 8≦x≦643 の間に進んでいるので、x＝16 は範囲の中です。

答え：10時16分、P町から800mの地点

グラフが折れ曲がるとき：区間ごとに式を求める

📄 プリント15ページ

水を入れるタンク：容量1000L の空のタンクに水を入れます。はじめの10分間は毎分30L、10分後からホースを増やして毎分70L ずつ入れました。入れ始めてから x 分後の水の量を y L とします。0≦x≦10 では傾きが30で、y＝30x です。x＝10 のとき y＝300 なので、グラフは (10, 300) で折れ曲がります。10分後からは傾きが70で、(10, 300) を通ります。

満水の y＝1000 になるのは、70x−400＝1000 より 70x＝1400、x＝20 で、20分後です（確かめ：70×20−400＝1000）。

2つの料金プラン：ある携帯電話の1か月の料金は、Aプランが基本料金1000円と通話1分ごとに20円、Bプランが基本料金2500円と通話1分ごとに5円です。通話時間 x 分の料金を y 円とすると、A は y＝20x＋1000、B は y＝5x＋2500 です。

通話が100分より短いならAが安く、100分より長いならBが安くなります（100分ちょうどは、どちらも3000円です）。

標準容量800L の空のタンクに水を入れます。はじめの5分間は毎分40L、5分後からは毎分60L ずつ入れました。入れ始めてから x 分後の水の量を y L として、5分後以降の式と、満水になる時間を求めなさい。

x＝5 のとき y＝40×5＝200 なので、(5, 200) で折れ曲がります。5分後以降は傾きが60です。

200＝60×5＋b	傾き60、(5, 200) を y＝60x＋b に代入
b＝−100	60×5＝300 を移項する
y＝60x−100	5≦x の式

60x−100＝800	満水の800L
60x＝900	100を移項する
x＝15	60でわる

確かめ：60×15−100＝800 で、15は5以上なので式の範囲の中です。

答え：y＝60x−100、15分後

標準ある印刷店で、Aの店は版代1000円と1枚8円、Bの店は版代200円と1枚16円です。印刷する枚数を x 枚、料金を y 円として、AとBの式をつくり、どちらの店が安いかを枚数で答えなさい。

A は y＝8x＋1000、B は y＝16x＋200 です。

8x＋1000＝16x＋200	料金が等しい＝交点
−8x＝−800	移項する
x＝100	−8でわる
y＝8×100＋1000	A の式に代入
y＝1800	100枚のとき、どちらも1800円

確かめ：B は 16×100＋200＝1800 で同じです。傾きがBの方が大きいので、枚数が多いほどBの料金が大きくなります。

答え：100枚より少ないならBが安く、100枚より多いならAが安い

動く点と面積：点 P を辺ごとに止めて式を求める

📄 プリント16ページ

長方形 ABCD（AB＝6cm、BC＝8cm）で、点 P は B を出発し、辺の上を C、D を通って A まで毎秒1cm で動き、A に着いたら止まります。出発してから x 秒後の △ABP の面積を y cm² とします。P が動く道のりは 8＋6＋8＝22cm なので、x の範囲は 0≦x≦22 です。

辺 CD 上（8≦x≦14）は、高さが BC＝8 で変わらないので y＝12×6×8＝24 です。辺 DA 上（14≦x≦22）は、B から C、D を通る道のりが 8＋6＝14cm なので、A までの残りは AP＝22−x となり、y＝12×6×(22−x)＝−3x＋66 です。

面積が12cm² になるとき：BC 上（0≦x≦8）で 3x＝12 より x＝4。DA 上（14≦x≦22）で −3x＋66＝12 より −3x＝−54、x＝18。CD 上は y＝24 で12にならないので、答えは4秒後と18秒後です（確かめ：−3×18＋66＝12）。

発展長方形 ABCD（AB＝4cm、BC＝5cm）で、点 P は B を出発し、辺の上を C、D を通って A まで毎秒1cm で動きます。出発してから x 秒後の △ABP の面積を y cm² とするとき、面積が6cm² になるのは何秒後ですか。すべて答えなさい。

P が動く道のりは 5＋4＋5＝14cm なので 0≦x≦14 です。底辺は AB＝4 で、辺ごとに式を求めます。

12×4×x	辺 BC 上（0≦x≦5）。高さ BP＝x
＝2x	y＝2x

辺 CD 上（5≦x≦9）は、高さが BC＝5 で変わらないので y＝12×4×5＝10 です。辺 DA 上（9≦x≦14）は、B から C、D を通る道のりが 5＋4＝9cm なので AP＝14−x となり、y＝12×4×(14−x)＝−2x＋28 です。

2x＝6	BC 上で y＝6
x＝3	両辺を2でわる

−2x＋28＝6	DA 上で y＝6
−2x＝−22	28を移項する
x＝11	両辺を −2 でわる

CD 上は y＝10 で6にならず、3は 0≦x≦5 の中、11は 9≦x≦14 の中です。確かめ：x＝11 のとき AP＝14−11＝3、12×4×3＝6 です。

答え：3秒後と11秒後

まとめ

1次関数 y＝ax＋b は、a が傾き（変化の割合）で、b が切片です。グラフは直線で、右へ1進むと上へ a 進み、傾きが等しい2直線は平行です。式は、傾きと1点、または2点（傾きを出してから1点を代入）から a と b を求めます。ax＋by＝c もグラフは直線で、2つのグラフの交点は連立方程式の解になります。速さのグラフでは傾きが速さで、追いつく・すれちがうのは交点です。プリントの確認問題で、式を求める計算と交点を求める計算を手を動かして練習してみてください。