【中3数学】標本調査の要点まとめ｜母集団の推定・標識再捕法のコツ

中3数学「標本調査」を、全数調査と標本調査のちがい、母集団と標本、標本の選び方、平均値と割合の推定の順に、例題で1つずつ確かめるページです。この単元は「一部を調べて、全体を推定する」が土台で、推定した値は母集団の本当の値ではなく「およそ」の値だと考えます。どの見出しも「答え → 例 → 理由 → 解き方」の順に書いています。紙に書いて練習したい人は、下の無料プリントを使ってください。

全数調査と標本調査：全部を調べるか、一部を調べるか

📄 プリント1・2ページ

テレビの視聴率は、日本中の家庭の全部を調べているわけではありません。工場の缶詰の味の検査も、全部の缶を開けて食べているわけではありません。全部を調べると時間や費用がかかりすぎたり、売る物がなくなったりするので、一部だけを調べて、全体のようすを推し量ります。

標本調査が行われるわけ：

全数調査をするのは、1人1人（1つ1つ）の結果が必要なときなどです。例：電球工場での電球の寿命の検査は、こわれるまで使うので全部調べると売る電球がなくなり、標本調査（イ）です。あるクラスの出欠の確認は、1人1人が来ているかどうかが必要なので全数調査です。ある県の中学生の1日の睡眠時間は、人数が多く、全員に聞くと時間や費用がかかりすぎるので、標本調査（ア）です。

基本次の調査は、全数調査と標本調査のどちらが適切ですか。標本調査なら、わけをア〜ウで答えなさい。(1) ボールペンが何m書けるかの検査　(2) 全校生徒の視力検査

(1) 書ききるまで使うと、売るボールペンがなくなるので、標本調査（イ）です。(2) 1人1人の結果が必要なので、全数調査です。

答え：(1) 標本調査（イ）　(2) 全数調査

母集団と標本：調べたい集団と、取り出した一部

📄 プリント3ページ

ある中学校の全校生徒480人（母集団）から40人（標本）を抽出して、1日の読書時間を調べるときの図です。標本で調べた結果から、母集団のようすを推定します。この場合の標本の大きさは40です。

知りたい集団で、母集団が決まる：同じように40人を選んで読書時間を調べても、知りたい集団がちがえば、母集団もちがいます。「この中学校の全校生徒480人の読書時間」を知りたいなら母集団は全校生徒480人、「この市の中学生4000人の読書時間」を知りたいなら母集団は市の中学生4000人で、標本はその中から選んだ40人です。

「推定する」とは：標本で調べた平均値や割合から、母集団の平均値や割合を「およそ」で考えることです。推定した値は、母集団の本当の値とぴったり同じとは限りません。標本を取り出し直すと、少し変わります。

基本ある県の中学生8000人から200人を無作為に選び、1日のスマホを使う時間を調べました。母集団、標本、標本の大きさを答えなさい。

答え：母集団は県の中学生8000人、標本は選んだ200人、標本の大きさは200

無作為に抽出する：かたよりなく標本を選ぶ

📄 プリント4ページ

全校生徒480人の1日の家庭学習の時間を、40人の標本で調べるとき、選び方で結果は変わります。

かたよりの理由を説明する例：市の人の1日の通勤・通学時間を調べるのに、平日の朝8時に駅前を通った人に聞くと、なぜかたよるでしょうか。（例）電車やバスで遠くへ通う人が多く選ばれ、家の近くで働く人や家にいる人が選ばれにくい。そのため、結果が時間の長いほうにかたよる。

標準全校生徒の通学時間を調べるのに、朝のバス停に並んでいた40人に聞くことにしました。この選び方がよくない理由を説明しなさい。

答え：（例）バスで通う、家が遠い人が多く選ばれ、歩いて通う人は選ばれにくい。そのため、結果が通学時間の長いほうにかたよる。

乱数さい・乱数表で無作為に選ぶ

📄 プリント5ページ

乱数さいは正二十面体の各面に0〜9が2回ずつ書いてあるさいころ、乱数表は乱数を表にしたもの、コンピューターは表計算ソフトなどで、たとえば1から480までの整数をでたらめに出すものです。

乱数表で選ぶ手順：① 母集団に通し番号をつける（480人なら 001〜480）→ ② 乱数表で、始める場所と読む向きを決め、番号のけた数ずつ区切って読む → ③ 番号に無い数と、前に出た番号はとばす → ④ 決めた人数になるまで続ける。

例：01〜50 の番号の生徒から、5人を選びます。下の乱数表の1行目の左はしから右へ、2けたずつ読みます（00・51以上・同じ番号はとばす）。

67・74 は 51以上、2つ目の 03 は前に出た番号なので、とばします。5人そろった時点で終わりです。選んだ番号は、選んだ順に 45、03、29、49、46 です。

乱数さいで選ぶ：乱数さいを2回投げ、1回目の数を十の位、2回目の数を一の位として、01〜40 の番号から選びます。00 と 41以上が出たら、投げ直します。

標準01〜30 の番号の生徒から、4人を選びます。乱数表の1行目 52, 17, 08, 63, 17, 24, 31, 09 を左から読み、00・31以上・同じ番号はとばすとき、選ばれる番号を、選んだ順に答えなさい。

52 は 31以上なのでとばします。17 を選び、08 を選びます。63 は 31以上なのでとばし、2つ目の 17 は前に出た番号なのでとばします。24 を選び、31 は 31以上なのでとばします。09 を選んで4人そろいます。

答え：17、08、24、09

母集団の平均値を推定する：標本の平均値を使う

📄 プリント6ページ

ミニトマトの甘さ：ある農園でとれたミニトマトの糖度（甘さの度合い）の平均値を知りたいとします。糖度を測るにはトマトをつぶすので、全部は測れません。そこで、無作為に10個を抽出して測ります。抽出した10個の糖度（度）は 8.4, 8.2, 8.6, 7.4, 8.7, 7.7, 8.4, 8.5, 7.3, 8.8 です。

標本の平均値を、母集団の平均値と考えます。この農園のミニトマトの糖度の平均値は、およそ8.2度と推定される、と答えます。

平均値から、全体の合計を推定する：1600ページの国語辞典の見出し語の数を調べます。無作為に選んだ10ページの、1ページの見出し語の数は 38, 42, 35, 47, 40, 44, 36, 41, 39, 43 です。

この辞典の見出し語は、およそ64800語と推定される、と答えます。同じミニトマトから10個を取り出し直すと、標本の平均値は少しちがう値になります（たとえば7.9度）。どちらも推定した値です。

標準みかん園でとれたみかん2000個から、無作為に10個を選んで重さ（g）を測ると、92, 85, 98, 90, 88, 95, 91, 87, 94, 90 でした。みかん1個の重さの平均値と、2000個の重さの合計を推定しなさい。

(92＋85＋98＋90＋88＋95＋91＋87＋94＋90)÷10	合計÷標本の大きさ
＝910÷10
＝91	標本の平均値（g）

2000×91	母集団の大きさ×平均値
＝182000	2000個の重さの合計（g）

答え：1個はおよそ91g、2000個の合計はおよそ182000g（182kg）

標本の大きさとばらつき：箱ひげ図で読む

📄 プリント7ページ

中2のふり返り：箱ひげ図は、最小値・第1四分位数・中央値・第3四分位数・最大値の5つの値で表します。四分位範囲は、データの散らばりの大きさを表します。四分位数の求め方と箱ひげ図のかき方は、中2数学「データの比較」で解説しています。

6ページのミニトマトから、大きさ5・10・20の標本をそれぞれ15回取り出し、15個の標本の平均値を箱ひげ図に表しました。縦の破線は、母集団の平均値（約8.08度）です。

言葉でまとめる：標本の大きさが大きいほど、標本の平均値のばらつきは小さくなり、母集団の平均値に近い値になりやすい傾向があります。標本での割合も同じで、標本が大きいほど、母集団での割合に近い値になりやすくなります。ばらつきが小さいほど、推定はぶれにくくなります。ただし、大きい標本を調べるには、手間・時間・費用が大きくなるので、目的に合わせて標本の大きさを決めます。

標準ある母集団から標本を15回ずつ取り出し、標本の平均値を箱ひげ図にしました。標本の大きさ9では第1四分位数が48.0、第3四分位数が54.5、標本の大きさ36では第1四分位数が50.5、第3四分位数が53.0でした。それぞれの四分位範囲を求め、標本の平均値のばらつきが小さいのはどちらか答えなさい。

54.5−48.0	大きさ9の四分位範囲
＝6.5

53.0−50.5	大きさ36の四分位範囲
＝2.5

答え：大きさ9は6.5、大きさ36は2.5。ばらつきが小さいのは大きさ36

母集団の数量を推定する：標本の割合をあてはめる

📄 プリント8ページ

不良品の数：ある工場でつくった製品3000個から、無作為に150個を取り出して調べると、不良品が4個ありました。3000個の中の不良品は、およそ何個でしょうか。

比例式 x：3000＝4：150 でも同じ答えです。

「〜と答えた人」の人数：生徒540人の中から60人を無作為に選んで聞くと、「毎朝朝食を食べる」と答えた人が51人でした。540人の中では、およそ何人でしょうか。

比で求める：袋の中に白い碁石がたくさんあり、黒い碁石は240個と分かっています。50個取り出すと、黒が15個、白が35個でした。取り出した碁石の個数の比は 白：黒＝35：15＝7：3 で、袋の中でも同じ比と考えます。白い碁石の数を x 個とします。

標準工場でつくった製品6000個から、無作為に200個を取り出して調べると、不良品が5個ありました。6000個の中の不良品は、およそ何個と推定されますか。

6000×5200	母集団の大きさ×標本での不良品の割合
＝30000200
＝150	およそ150個

答え：およそ150個

印をつけて推定する：池の魚の数と混ぜた碁石の数

📄 プリント9ページ

何匹かに印（標識）をつけて戻し、もう一度とって、その中の印の割合から全体の数を推定する方法を、標識再捕法といいます。名前より、下の比例式のつくり方が大切です。

池の魚の数：池の魚は全部を数えられません。そこで、何匹かに印をつけて池に戻し、数日後にもう一度とって、その中の印の割合を調べます。池の魚60匹に印をつけて戻し、数日後に75匹をとると、印のついた魚は5匹でした。池には、およそ何匹の魚がいるでしょうか。

碁石を混ぜる：白い碁石だけがたくさん入った箱に、黒い碁石を100個入れて、よくかき混ぜました。60個取り出すと、黒い碁石が4個ありました。箱の中の白い碁石は、およそ何個でしょうか。

数日おく・よく混ぜるのはなぜ？印をつけた魚を戻してから数日おいたり、碁石をよくかき混ぜたりするのは、印をつけた魚や入れた黒い碁石が全体に散らばり、2回目に取り出すものが無作為な標本になるようにするためです。

標準池のメダカ50匹に印をつけて戻し、数日後に80匹をとると、印のついたメダカは4匹でした。池には、およそ何匹のメダカがいると推定されますか。

池全体を x 匹とします。池全体と印の数の比は、2回目にとった全体と印の数の比に等しいと考えます。

x：50＝80：4	池全体 : 印の数 ＝ 2回目の全体 : 2回目の印
4x＝4000	外側の積＝内側の積
x＝1000	両辺を4でわる

答え：およそ1000匹

調査の方法と結論を見直す：かたより・標本の大きさ・言いすぎ

📄 プリント10ページ

観点が2つ以上当てはまることもあります。理由には「だれを、何人調べたか」を書きます。

標準サッカー部員50人にアンケートをとると、45人が「サッカーが好き」と答えました。そこで「全校生徒の90%がサッカーを好き」と言えますか。言えないなら、その理由を説明しなさい。

答え：言えない。（例）サッカー部員は、サッカーが好きな人にかたよっている。母集団の全校生徒から無作為に選んでいない。

まとめ

標本調査は、集団の一部を調べて全体を推定する調査で、全部を調べると売る物がなくなる・時間や費用がかかりすぎる・調べられないときに行います。傾向を知りたい集団が母集団、取り出した一部が標本で、標本は乱数さいや乱数表を使ってかたよりなく選びます。標本の平均値から母集団の平均値と合計を、標本での割合から母集団の数量を推定し、全体の数が分からないときは印をつけたものの割合を使います。標本が大きいほどばらつきは小さくなる傾向があり、結果はかたより・標本の大きさ・言いすぎの3つの観点で見直します。プリントの確認問題で、比例式の計算を手を動かして練習してみてください。