【中1数学】比例と反比例の要点まとめ｜無料プリント付き

中1数学「比例と反比例」を、式・表・グラフの3つで1つずつ確かめるページです。この単元は「比例は y÷x が一定、反比例は x×y が一定」と「グラフは、比例が原点を通る直線、反比例が双曲線」の2つが土台です。どの見出しも「答え → 図や表 → 解き方」の順に書いています。紙に書いて練習したい人は、下の無料プリントを使ってください。

関数とは？ x を決めると y がただ1つに決まる

📄 プリント1・2ページ

水そうの例：深さ36cmの水そうに、一定の割合で水を入れます。入れ始めて2分後に深さ6cm、4分後に12cmになりました。時間が2分から4分へ2倍になると、深さも6cmから12cmへ2倍です。36cmは12cmの3倍なので、時間も4分を3倍して、満水は 4×3＝12（分後）と予想できます。

時間 x 分を決めると深さ y cm がただ1つに決まるので、y は x の関数です。表を見ると、y はいつも x の3倍なので y＝3x と表せます。この単元では、次の3つを学びます。

比例は y＝ax の形の関係で、x が2倍、3倍…になると y も2倍、3倍…になります。反比例は y＝ax の形の関係で、面積4cm²の長方形の縦 x cm と横 y cm は y＝4x と表せ、x が2倍、3倍…になると y は12倍、13倍…になります。そのほかに、グラフを使って身のまわりの量を求める利用も学びます。

関数か、関数でないか：見分け方は「x を決めたとき、y が1つに決まるか」です。

関数の関係を式で表す：鉛筆の例で、おつり＝出したお金−代金、代金は 60×x＝60x（円）なので、y＝1000−60x です。式で表せると、x に数を入れて y を計算できます（x＝5 なら 1000−60×5＝700円）。

紙の束の枚数は数えにくい数量ですが、枚数を決めると重さがただ1つに決まるので、重さは枚数の関数です。重さは量りやすいので、重さから枚数を求められます（この記事の「比例とみなす」の見出し）。

基本次のア〜ウのうち、y が x の関数であるものをすべて選びなさい。ア 1辺 x cm の正方形の面積 y cm²　イ 身長 x cm の人の年齢 y 歳　ウ 100円を出して、1個20円のあめを x 個買ったときのおつり y 円

ア：x を決めると面積 x² が1つに決まるので関数です。イ：同じ身長でも年齢はいろいろで、y が1つに決まらないので、関数ではありません。ウ：x を決めるとおつりが1つに決まるので関数です。

答え：ア、ウ

標準2000円出して、1本150円のジュースを x 本買ったときのおつりを y 円とします。y を x の式で表し、x＝4 のときの y の値を求めなさい。

代金は 150×x＝150x（円）なので、おつり＝2000−150x です。

y＝2000−150x	おつり＝出したお金−代金
y＝2000−150×4	x＝4 を代入
＝1400	2000−600

答え：式は y＝2000−150x、x＝4 のとき 1400円

変域：変数のとる値の範囲を、不等号と数直線で表す

📄 プリント3ページ

場面から変域を決める：深さ36cmの水そうに、毎分3cmずつ水を入れます。満水になるのは 36÷3＝12（分後）なので、時間 x 分の変域は 0≦x≦12 です。深さ y cm の変域は、x の両はしの値のときの y を計算して決めます。x＝0 のとき y＝0、x＝12 のとき 3×12＝36 なので、0≦y≦36 です。

「以上」「未満」が使われる場面：「6歳以上12歳未満は子ども料金」の年齢を x 歳とすると、6歳はふくみ、12歳はふくみません。変域は 6≦x＜12 です。

基本x が −1 以上 5 未満であることを、不等号で表しなさい。

−1 をふくむので ≦、5 をふくまないので ＜ を使います。

答え：−1≦x＜5

標準深さ60cmの水そうに、毎分4cmずつ深くなるように水を入れます。入れ始めてから満水になるまでの時間を x 分、深さを y cm とするとき、x と y の変域を不等号で表しなさい。

満水になるのは 60÷4＝15（分後）です。x＝0 のとき y＝0、x＝15 のとき y＝4×15＝60 です。

答え：0≦x≦15、0≦y≦60

比例と反比例とは？ y を x の式で表して見分ける

📄 プリント4ページ

1個70円のみかん x 個の代金 y 円は y＝70x で、比例、比例定数は70です。面積28cm²の長方形の縦 x cm、横 y cm は xy＝28 から y＝28x で、反比例、比例定数は28です。

式にするコツ：分からないときは、x に計算しやすい数を入れて y を計算し、ことばの式から y＝ の式にします。分速70mで x m 進む時間を y 分とします。

時間＝道のり÷速さ より y＝x70 です。170x と同じ形なので比例です。図形は「面積＝」から式をつくります。面積 x cm²、高さ6cmの平行四辺形の底辺を y cm とすると、面積＝底辺×高さ より x＝6y で、y＝ の形に直して y＝x6（比例）です。

基本時速60kmで x 時間走ったときの道のりを y km とします。y を x の式で表し、比例か反比例かを答えなさい。

道のり＝速さ×時間 より y＝60x です。

答え：y＝60x、比例（比例定数は60）

標準面積が24cm²の長方形の縦を x cm、横を y cm とします。y を x の式で表し、比例か反比例かを答えなさい。

面積＝縦×横 より xy＝24 なので、y＝ の形に直します。

答え：y＝24x、反比例（比例定数は24）

標準次のア〜エの式のうち、y が x に比例するもの、反比例するものを選びなさい。ア y＝x5　イ y＝3x　ウ y＝5−x　エ y＝−4x

ア：15x と同じ形なので比例。イ：x が分母なので反比例。ウ：y＝ax の形でも y＝ax の形でもないので、どちらでもありません。エ：y＝ax の形（a＝−4）なので比例です。

答え：比例はア・エ、反比例はイ

比例の性質：x や a が負の数でも成り立つ

📄 プリント5ページ

負の数が出る場面：ある水そうの水面が、毎分2cmずつ下がっています。今の水面の高さを0cm、上を正の数として、x 分後の水面の高さを y cm とします。1分後は −2cm、2分後は −4cm なので、式は y＝−2x で、比例定数は −2 です。3分前は x＝−3 で、−2×(−3)＝6（cm）なので、3分前の水面は今より6cm上です。

x が −1 から −2 になる（2倍）と、y は 2 から 4 になります（2倍）。x が 1 から 3 になる（3倍）と、y は −2 から −6 になります（3倍）。

yx の値：表で確かめると、6÷(−3)＝−2、4÷(−2)＝−2、(−6)÷3＝−2 で、どれも比例定数 −2 になります。y＝−2x の表で x が −3 から 3 へ増えると、y は 6 から −6 へ減っています。

基本y は x に比例し、比例定数は −3 です。x が −1 から −3 になると、y の値は何倍になりますか。

x は3倍になるので、y も3倍になります（y は 3 から 9）。

答え：3倍

標準y は x に比例し、x＝−2 のとき y＝−8 です。x＝−6 のときの y の値を、x が何倍になるかを使って求めなさい。

x は −2 から −6 へ、(−6)÷(−2)＝3 より3倍になるので、y も3倍です。

答え：−8×3＝−24（確かめ：比例定数は −8÷(−2)＝4 で、4×(−6)＝−24）

比例の式の求め方：1組の x、y から a を出す

📄 プリント6ページ

例1：y は x に比例し、x＝5 のとき y＝−15 です。

この式で x＝−4 のときは、−3×(−4)＝12 です。

例2（a が分数）：y は x に比例し、x＝−6 のとき y＝4 です。

例3（y から x を求める）：例2の y＝−23x で、y＝6 のときの x を求めます。

標準y は x に比例し、x＝−4 のとき y＝20 です。y を x の式で表し、x＝3 のときの y の値を求めなさい。

20＝a×(−4)	y＝ax に x＝−4、y＝20 を代入
−4a＝20	左辺と右辺を入れかえ
a＝−5	両辺を −4 でわる
y＝−5x	式

y＝−5×3	x＝3 を代入
＝−15	y の値

発展y は x に比例し、x＝8 のとき y＝−6 です。y を x の式で表し、y＝9 のときの x の値を求めなさい。

−6＝a×8	y＝ax に x＝8、y＝−6 を代入
8a＝−6	左辺と右辺を入れかえ
a＝−34	両辺を8でわる（約分する）
y＝−34x	式

9＝−34x	y＝9 を代入
−34x＝9	左辺と右辺を入れかえ
x＝9×(−43)	両辺に −43 をかける
x＝−12

確かめ：−34×(−12)＝9 で合います。

座標：点の位置を2つの数の組で表す

📄 プリント7ページ

原点から x軸の方向（右が正）に x座標だけ、y軸の方向（上が正）に y座標だけ進んだ所が、その点です。

座標から点をとる：原点から、x座標の分だけ x軸の方向に進み（負なら左）、そこから y座標の分だけ y軸の方向に進みます（負なら下）。軸の上の点は、一方の座標が0になります。原点で分けられた4つの部分では、座標の符号が決まり、右上は (＋, ＋)、左上は (−, ＋)、左下は (−, −)、右下は (＋, −) です。

基本点 (−5, 2) は、原点からどう進んだ所にありますか。

x座標が −5 なので左へ5、y座標が 2 なので上へ2進みます。

答え：左へ5、上へ2

標準点 (0, 4) と点 (−3, −4) は、それぞれ座標平面のどこにありますか。

(0, 4) は x座標が0なので y軸の上で、原点から上へ4進んだ所です。(−3, −4) は x座標も y座標も負なので、左下の部分にあります。

答え：(0, 4) は y軸の上、(−3, −4) は左下

比例のグラフ：原点を通る直線

📄 プリント8ページ

x の値を細かくしていくと、点はすきまなく並びます。

左の図は a＞0 で右上がり、右の図は a＜0 で右下がりです。a の絶対値が大きいほど急になり、y＝3x は y＝x より急です。

原点ともう1点でかく：① 原点をとる → ② x座標・y座標がどちらも整数になる、もう1点をとる（a が分数なら、x に分母の数を入れる）→ ③ 2点を通る直線を、座標平面のはしまでひく。

23x のグラフ。原点と点A(3, −2)を通る右下がりの直線” font-family=”inherit” fill-rule=”nonzero” width=”164″ height=”151″ viewBox=”0 -1 164 151″ font-family=”Yu Gothic, Meiryo, sans-serif”>xyO−4−224−4−3−21234A(3, −2)

y＝−23x は、x＝3 を入れると −23×3＝−2 なので、点 (3, −2) をとります。

基本y＝−3x のグラフは、原点のほかに、どの点を通りますか。x座標が1の点を答えなさい。

x＝1 のとき y＝−3×1＝−3 です。

答え：(1, −3)（右下がりの直線）

標準次のア〜ウのうち、グラフが右下がりになるものと、いちばん急になるものを選びなさい。ア y＝2x　イ y＝−5x　ウ y＝12x

右下がりになるのは a＜0 のイだけです。a の絶対値は 2、5、12 で、いちばん大きいのは 5 です。

答え：右下がりはイ、いちばん急なのもイ

標準y＝−32x のグラフをかくために、原点のほかにとる整数の点を1つ答えなさい。

a が分数なので、x に分母の2を入れます。x＝2 のとき y＝−32×2＝−3 です。

答え：(2, −3)

比例のグラフから式を求める：整数の点を読む

📄 プリント9ページ

比例定数 a は、どこに表れるか：表ではどの列も y÷x が a で、x＝1 のときの y が a です。式では y＝ax の a、グラフでは点 (1, a) を通ります。たとえば y＝3x なら、x＝1 のとき y＝3 で、点 (1, 3) を通ります。

変域のあるグラフ：y＝−2x で x の変域が −1≦x≦3 のとき、グラフは点 P(−1, 2) から点 Q(3, −6) までの線分で、両はしの点は ● です。

y の変域は、両はしの y から決めます。x＝−1 のとき −2×(−1)＝2、x＝3 のとき −2×3＝−6 なので、−6≦y≦2 です。a が負なので、x が小さいほうのはしで y が大きくなります。

標準比例のグラフが、原点と点 (3, −6) を通るとき、y を x の式で表しなさい。

−6＝a×3	y＝ax に (3, −6) を代入
3a＝−6	左辺と右辺を入れかえ
a＝−2	両辺を3でわる
y＝−2x	式

標準y＝−3x で、x の変域が −1≦x≦2 のとき、y の変域を求めなさい。

x＝−1 のとき y＝−3×(−1)＝3、x＝2 のとき y＝−3×2＝−6 です。a が負なので、x が小さいほうのはしで y が大きくなります。

答え：−6≦y≦3

反比例の性質と式の求め方：x×y が一定

📄 プリント10ページ

小学校の反比例：面積36cm²の長方形で、縦 x cm と横 y cm の関係は次のようになります。

負の数に広げる（y＝12x）：

x＝0 の列は、12÷0 を計算できない（0でわることはできない）ので、y の値がありません。x が −1 から −2 になる（2倍）と、y は −12 から −6 になります（12倍）。確かめ：(−3)×(−4)＝12、2×6＝12 で、どれも 12 です。

1組の x、y から式を求める：y は x に反比例し、x＝3 のとき y＝−4 です。

この式で x＝−2 のときは −12÷(−2)＝6（y＝6）です。y＝3 のときは、xy＝−12 に y＝3 を入れて 3x＝−12 なので、x は −12÷3＝−4 です。

標準y は x に反比例し、x＝−6 のとき y＝−3 です。y を x の式で表し、x＝9 のときの y の値を求めなさい。

a＝(−6)×(−3)	a＝xy に代入
a＝18	負×負は正
y＝18x	式

y＝189	x＝9 を代入
＝2	y の値

発展y は x に反比例し、x＝4 のとき y＝−5 です。y を x の式で表し、y＝8 のときの x の値を求めなさい。

a＝4×(−5)	a＝xy に代入
a＝−20	計算する
y＝−20x	式

xy＝−20	a＝xy
x×8＝−20	y＝8 を代入
8x＝−20	左辺を整理
x＝−52	両辺を8でわる（約分する）

確かめ：(−52)×8＝−20 で合います。

反比例のグラフ：軸と交わらない、なめらかな2つの曲線

📄 プリント11ページ

6x のグラフ。右上と左下にある、なめらかな2つの曲線” font-family=”inherit” fill-rule=”nonzero” width=”248″ height=”235″ viewBox=”0 -1 248 235″ font-family=”Yu Gothic, Meiryo, sans-serif”>xyO−6−4−2246−7−6−5−4−3−21234567y＝6x

y が整数になる x（6の約数とその負の数）を選ぶと、点をとりやすくなります。点をなめらかな曲線でむすぶと、原点をはさんで向かい合う、2つの部分になります。

6x と ②y＝−6x のグラフ。①は右上と左下、②は左上と右下” font-family=”inherit” fill-rule=”nonzero” width=”248″ height=”235″ viewBox=”0 -1 248 235″ font-family=”Yu Gothic, Meiryo, sans-serif”>xyO−6−4−2246−7−6−5−4−3−21234567①②

①y＝6x（a＞0）は右上と左下、②y＝−6x（a＜0）は左上と右下にあります。値の変化：a＞0 のとき、x＞0 の範囲で x が増えると y は減ります（x＜0 の範囲でも同じ）。a＜0 のときは、x＞0 の範囲で x が増えると y は増えます。

基本反比例 y＝−8x のグラフは、座標平面のどの部分にありますか。

a＝−8 で a＜0 なので、左上と右下にあります。

答え：左上と右下

標準反比例 y＝5x のグラフについて、正しいものを選びなさい。ア y軸と交わる　イ x＞0 の範囲で、x が増えると y は減る　ウ 原点を通る

ア：x＝0 のときの y がないので、y軸と交わりません。ウ：原点も通りません。イ：a＞0 なので、x＞0 の範囲で x が増えると y は減ります。

答え：イ

反比例のグラフから式を求める：比例とくらべる

📄 プリント12ページ

x座標・y座標がどちらも整数の点：y＝8x は xy＝8 なので、x が8の約数（1、2、4、8）とその負の数のとき、y も整数になります。正の側の4個 (1, 8)、(2, 4)、(4, 2)、(8, 1) と、負の側の4個 (−1, −8)、(−2, −4)、(−4, −2)、(−8, −1) で、全部で8個です。x＝3 だと y＝83 で整数になりません。

比例と反比例のグラフが交わる点：y＝4x と y＝ax が x＝2 で交わるとき、比例の式から y＝4×2＝8 なので、交わる点は (2, 8) です。この点は反比例のグラフ上にもあるので、a＝xy に x＝2、y＝8 を入れて a＝2×8＝16 です。

標準反比例のグラフが点 (3, 2) を通るとき、y を x の式で表しなさい。

a＝3×2	a＝xy に代入
a＝6	計算する
y＝6x	式

発展反比例 y＝16x のグラフ上で、x座標と y座標がどちらも整数になる点は、全部で何個ありますか。

xy＝16 なので、x が16の約数（1、2、4、8、16）とその負の数のとき、y も整数になります。正の側は (1, 16)、(2, 8)、(4, 4)、(8, 2)、(16, 1) の5個、負の側も5個です。x＝3 だと y＝163 で整数になりません。

答え：10個

発展比例のグラフ y＝5x と、反比例のグラフ y＝ax が、x座標が −2 の点で交わっています。a の値を求めなさい。

比例の式から y＝5×(−2)＝−10 なので、交わる点は (−2, −10) です。この点は反比例のグラフ上にもあります。

a＝(−2)×(−10)	a＝xy に代入
a＝20	負×負は正

確かめ：y＝20x に x＝−2 を入れると、20÷(−2)＝−10 で合います。

3つの量の関係：どれを決めるかで、比例か反比例かが決まる

📄 プリント13ページ

電子レンジの加熱時間：同じ食品なら「出力×時間」が同じになると考えるので、時間は出力に反比例します。ある食品が、700Wで2分のとき、500Wであたためる時間を求めます。時間を y 分、出力を x W とします。

0.8分は 0.8×60＝48（秒）なので、2分48秒です。出力を下げたのに時間が短くなったら、比例と取りちがえています。

かみ合う歯車：かみ合う歯車は、同じ時間に同じ数の歯が進みます。だから (Aの歯の数)×(Aの回転数)＝(Bの歯の数)×(Bの回転数) です。

例1（反比例）：歯の数24で毎分20回転する歯車Aに、歯の数 x の歯車Bをかみ合わせます。Bは毎分 y 回転します。

Bの歯が32なら、毎分 480÷32＝15（回転）です。

例2（比例）：同じA（歯24）とB（歯32）で、Aの回転数を x、Bの回転数を y とします。

何を x・y にするかで、比例にも反比例にもなります。

基本6人ですると10日かかる仕事を、4人ですると何日かかりますか。1人が1日にする仕事の量は、だれも同じとします。

人数×日数が一定なので、日数 y 日は人数 x 人に反比例します。

xy＝6×10	人数×日数が一定
y＝60x	a＝60
y＝604	x＝4 を代入
＝15	15日

標準歯の数が18で、毎分30回転する歯車Aに、歯の数が27の歯車Bをかみ合わせます。Bは毎分何回転しますか。

Bの回転数を y とすると、歯の数×回転数が等しいので、18×30＝27×y です。

27y＝18×30	歯の数×回転数が等しい
27y＝540	18×30
y＝20	両辺を27でわる

確かめ：27×20＝540、18×30＝540 で等しくなります。答えは毎分20回転です。

標準ある冷凍食品を電子レンジであたためます。適切な加熱時間は、900Wの出力で2分です。750Wの出力では、何分何秒ですか。

時間は出力に反比例するので、出力を x W、時間を y 分とすると、y＝ax です。

xy＝900×2	出力×時間が一定
y＝1800x	a＝900×2＝1800
y＝1800750	x＝750 を代入
＝2.4	1800÷750（分）

0.4分は 0.4×60＝24（秒）なので、答えは2分24秒です。出力を900Wから750Wに下げたので、時間が2分より長くなっていて、反比例の考えに合います。

比例とみなす：はかりにくい量を、比例する量ではかる

📄 プリント14ページ

紙の枚数と重さ：同じ種類の紙100枚の重さを量ったら250gでした。この紙の束の重さを量ったら1150gでした。紙は何枚ありますか。枚数を x 枚、重さを y g とします。1枚の重さが決まっているので、比例です。

確かめ：52×460＝1150 で合います。答えは460枚です。

待ち時間を予想する：行列で、自分の前に150人並んでいます。5分間で30人が進みました。同じ割合で進むとみなして、自分の番が来るまでの時間を予想します。時間を x 分、進んだ人数を y 人とすると、同じ割合で進むとみなすので、比例です。

答えはおよそ25分後です。

標準同じ種類のプリント80枚の重さを量ったら360gでした。プリントの束の重さを量ったら1170gでした。プリントは何枚ありますか。

枚数を x 枚、重さを y g とすると、1枚の重さが決まっているので比例です。

360＝a×80	y＝ax に x＝80、y＝360 を代入
80a＝360	左辺と右辺を入れかえ
a＝92	両辺を80でわる（約分する）
y＝92x	式

1170＝92x	y＝1170 を代入
92x＝1170	左辺と右辺を入れかえ
x＝1170×29	両辺に 29 をかける
x＝260	260枚

確かめ：92×260＝1170 で合います。答えは260枚です。

標準ホースで水そうに水を入れたら、3分間で45L たまりました。同じ割合で入るとみなして、180L たまるまでの時間を予想しなさい。

時間を x 分、水の量を y L とすると、同じ割合で入るとみなすので、比例です。

45＝a×3	y＝ax に x＝3、y＝45 を代入
3a＝45	左辺と右辺を入れかえ
a＝15	両辺を3でわる
y＝15x	式

180＝15x	y＝180 を代入
15x＝180	左辺と右辺を入れかえ
x＝12	両辺を15でわる

確かめ：15×12＝180 で合います。答えはおよそ12分後です。

グラフから読みとる：2人の道のり

📄 プリント15ページ

兄は分速80m、弟は分速60mで、同時に家を出て、2400mはなれた公園へ歩きます。x 分後の家からの道のりを y m とすると、道のり＝速さ×時間 なので、兄は y＝80x、弟は y＝60x です。どちらも比例で、公園に着くまでの x の範囲でグラフをかきます。

グラフを読む：① 10分後の2人の間の道のりは、x＝10 のときの y を読むと、兄は800m、弟は600m なので 800−600＝200（m）です。② 兄が公園に着くのは、y＝2400 の所の x を読んで30分後です。そのとき弟は1800mの所にいます。弟が公園に着くのは40分後で、兄より 40−30＝10（分）おそくなります。

兄が公園に着く30分後まで、2人の差は10分ごとに200mずつ広がります。30分後、弟は公園まであと 2400−1800＝600（m）です。

基本上の兄（y＝80x）は、家を出て25分後に、家から何m の所にいますか。

x＝25 を y＝80x に代入します。

答え：80×25＝2000（m）

標準兄は分速100m、弟は分速75mで、同時に家を出て、1500mはなれた公園へ歩きます。10分後の2人の間の道のりと、弟が公園に着くのは兄より何分あとかを求めなさい。

x 分後の道のりを y m とすると、兄は y＝100x、弟は y＝75x です。10分後は、兄が100×10＝1000（m）、弟が75×10＝750（m）です。

兄が公園に着くのは 1500÷100＝15（分後）、弟が着くのは 1500÷75＝20（分後）です。

答え：10分後の差は 1000−750＝250（m）、弟は兄より 20−15＝5（分）あと

まとめ

x の値を決めると y がただ1つに決まるとき、y は x の関数です。比例は y＝ax で、y÷x が一定、グラフは原点を通る直線です。反比例は y＝ax で、x×y が一定、グラフは軸と交わらない双曲線です。式を求めるときは、比例なら y＝ax、反比例なら y＝ax と書いて、1組の x、y から a を求めます。グラフから式を求めるときは整数の点を読み、変域は両はしの値から決めます。身のまわりの量は、比例とみなして式をつくると、はかりにくい量も求められます。プリントの確認問題で、式の求め方とグラフの読みとりを手を動かして練習してみてください。