【中1数学】平面図形の要点まとめ｜無料プリント付き

中1数学「平面図形」を、図と例題で1つずつ確かめるページです。この単元は「図形を動かす（移動）」、「定規とコンパスだけでかく（作図）」、「円の一部の長さと面積を π で表す（おうぎ形）」の3つが土台です。どの見出しも「答え → 図 → 理由 → 解き方」の順に書いています。紙に書いて練習したい人は、下の無料プリントを使ってください。

直線・線分・半直線と、図形を表す記号

📄 プリント1・2ページ

記号の使い方：2つの線分の長さが等しいことは AB＝CD と書き、3つ以上なら AB＝BC＝CA のように続けて書きます。三角形ABCは △ABC と書きます。2直線AB、CDが交わらないとき、ABとCDは平行であるといい、AB∥CD と書きます。

これから学ぶこと：形と大きさを変えずに、ほかの位置に動かすことを移動といい、ずらす（平行移動）・回す（回転移動）・折り返す（対称移動）の3つがあります。作図では、小学校のように測る代わりに、定規とコンパスだけで正確にかきます。たとえば線分の真ん中を通る垂直な直線は、円（弧）を2つかいて、その2つの交点を通る直線をひけば、どんな長さでも同じ手順でかけます。

基本次のア〜ウのうち、長さがあるものを選びなさい。ア 直線CD　イ 線分CD　ウ 半直線CD

直線と半直線はどこまでものびるので長さがありません。

答え：イ

平行移動：一定の方向に一定の距離だけずらす

📄 プリント3ページ

方眼でのかき方：① 矢印の向きと長さを、方眼のマスで数える（下の図は右へ4マス・上へ3マス）→ ② 頂点を1つずつ、同じだけ動かし、動かした点に「′」を付ける（A′ は「エーダッシュ」と読む）→ ③ 動かした点を、順に定規で結ぶ → ④ 対応する点（AとA′など）を結んで確かめる。

動かしても形と大きさは変わらないので、対応する辺の長さや角の大きさも等しくなります（AB＝A′B′ など）。測らなくても言えます。たとえば AA′＝5.4cm なら、BB′ も CC′ も 5.4cm です。

左や下に動かすとき：向きが左や下のときも、かき方は同じです。矢印が左へ3マス・下へ2マスなら、各頂点を左へ3マス・下へ2マス動かします。

標準方眼で、△ABC を平行移動して △A′B′C′ にしました。AA′＝8cm のとき、BB′ と CC′ の長さを答えなさい。また、点 P(2, 3) を右へ5マス・下へ2マス平行移動した点 P′ の座標を答えなさい。

平行移動では、対応する点を結ぶ線分の長さが等しいので、BB′＝CC′＝AA′＝8cm です。P′ は、x座標が 2＋5＝7、y座標が 3−2＝1 です。

答え：BB′＝CC′＝8cm、P′(7, 1)

回転移動と点対称移動：1つの点を中心に回す

📄 プリント4ページ

角の表し方：角は ∠ と3つの文字で表し、頂点の文字を真ん中に書きます。下の図の角は ∠AOB（頂点はO）です。

方眼でのかき方：回す向きは、時計の針の回転と同じ向きか、反対の向きで言います。下の図は同じ向きに90°回しています。Oから頂点までを「右へ○・上へ○」のように数え、90°回すと向きが「右→下、上→右、左→上、下→左」に変わります。A は右へ3・上へ1 なので、A′ は下へ3・右へ1です。B、C も同じようにして順に結びます。

点対称移動：180°の回転移動を点対称移動といいます。AからOまで進んだのと同じだけ、Oの先へまっすぐ進んだ点が A′ で、Oは線分AA′の真ん中の点です。

標準△ABC を点Oを中心に回転移動して △A′B′C′ にしました。∠AOA′＝70°、OA＝4cm のとき、∠BOB′ の大きさと OA′ の長さを答えなさい。

回した角はどれも等しいので ∠BOB′＝∠AOA′＝70° です。中心Oから対応する点までの距離は等しいので OA′＝OA＝4cm です。

答え：∠BOB′＝70°、OA′＝4cm

標準点Aを、点Oを中心に点対称移動した点を A′ とします。AA′＝10cm のとき、OA の長さを求めなさい。

点対称移動では、O は線分AA′の真ん中の点です。

10÷2	OA＝AA′の半分
＝5	5cm

対称移動：直線を折り目として折り返す

📄 プリント5ページ

垂直・中点・垂直二等分線：2直線AB、CDが直角に交わるとき AB⊥CD と書き、一方を他方の垂線といいます。線分を2等分する点（線分の真ん中の点）が中点、線分の中点を通り、その線分に垂直な直線が垂直二等分線です。

方眼でのかき方：頂点Aから軸ℓまでのマス数を数え（下の図は4マス）、軸に垂直な向きに、軸の反対側へ同じマス数だけ進んだ点が A′ です。B、C も同じように動かし、順に結びます。

小学校で習った線対称な図形は、対称の軸で対称移動すると自分に重なる図形です。

標準点Aを直線ℓについて対称移動した点を A′ とし、AA′とℓの交点をMとします。AM＝3.5cm のとき、AA′の長さと、AA′とℓがつくる角の大きさを答えなさい。

ℓはAA′を垂直に2等分するので、AA′⊥ℓ（90°）で、AA′はAMの2倍です。

3.5×2	AA′＝AM＋A′M
＝7	7cm

答え：AA′＝7cm、角の大きさは90°

移動を組み合わせると：重ねられる図形は合同

📄 プリント6ページ

続けて行う：下の図で、アを上へ3マス平行移動するとイに重なり、さらにイを直線ℓで対称移動するとウに重なります。アをウに重ねるには、2回の移動が必要です。

決まった移動で重なる図形をすべてさがす：正方形ABCDを4つの正方形に分け、それぞれを同じ向きの対角線で2つに分けると、直角二等辺三角形が8つできます。①を、次の3つの移動のどれか1回で重ねられる三角形は、表のとおりです。

上の図では、①から⑧までの8つの三角形は、すべて合同です。合同な図形を、平行移動や対称移動でくり返しならべると、すき間なく広がる模様（しきつめ模様）ができます。

基本△PQR を平行移動し、さらに直線mで対称移動すると、P、Q、R がそれぞれ S、T、U に重なって △STU になりました。△PQR と △STU は合同ですか。PQ＝5cm のとき、ST の長さも答えなさい。

移動によってぴったり重なるので、合同です。合同な図形では、対応する辺の長さが等しいので ST＝PQ です。

答え：合同である。ST＝5cm

作図とは：定規とコンパスで、正六角形をかく

📄 プリント7ページ

円・弧・弦：円は、1点Oから等しい距離にある点の集まりで、Oを中心、その距離を半径といいます。円周上の2点A、Bで区切られた円周の一部分を弧AB（⌒AB。ふつうは短い方）、AとBを結ぶ線分を弦ABといいます。

正六角形の作図：正六角形の1つの角は120°です。分度器で120°を6回測ってかくと、小さなずれが重なって、最後の辺がぴったり合わなくなります。定規とコンパスだけを使うと、測らずに正確にかけます。① コンパスで円をかく（コンパスの開きが半径）→ ② 円周上の1点Aから、コンパスの開きを変えずに、B、C、D、E、F を順にとる → ③ 6つの点を、順に定規で結ぶ。

わけ：中心Oと6つの点を結ぶと、3つの辺がすべて半径に等しい正三角形が6つできます。正三角形の角は60°で、60×6＝360 だから、ちょうど1周します。

基本円周上の2点を結ぶ線分を何といいますか。また、円周上の2点で区切られた円周の一部分を何といいますか。

答え：線分は弦、円周の一部分は弧

標準円周上の1点Aから、コンパスの開きを変えずに B、C、D、E、F を順にとって正六角形をかきました。中心Oと6つの点を結ぶと、どんな三角形が何個でき、1つの角は何度ですか。また、その角を6つ合わせると何度ですか。

3つの辺がすべて半径に等しい正三角形が6個できます。正三角形の1つの角は60°です。

60×6	60°が6つ
＝360	ちょうど1周

答え：正三角形が6個、1つの角は60°、6つ合わせると360°

垂線と垂直二等分線の作図：交わる2つの円を使う

📄 プリント8・9ページ

わけ：AP＝AQ、BP＝BQ なので、PとQは直線ABについて対称な位置にあります。

垂線の作図（直線ℓ上にない点Pから）：① Pを中心とする円をかき、直線との交点をA、Bとする → ② A、Bを中心に、①と同じ半径の円をかき、Pでない方の交点をQとする → ③ 直線PQをひく。②の2つの円は、どちらもPを通ります。もう1つの交点Qをとると、直線ABは線分PQの垂直二等分線なので PQ⊥AB です。

点と直線との距離：点Pから直線ℓにひいた垂線とℓの交点をHとするとき、線分PHの長さを、点Pと直線ℓとの距離といいます。Pからℓ上の点にひいた線分の中では、垂線PHがいちばん短くなります。平行な2直線ℓ、mでは、ℓ上のどこからmにひいた垂線も長さが同じで、この長さを平行な2直線の距離といいます。

垂直二等分線の作図：① 線分ABの両はしA、Bを中心に、同じ半径の円をかく（半径はABの半分より長く）→ ② 2つの円の交点を P、Q とする → ③ 直線PQをひく。PQとABの交点Mが、ABの中点です。わけ：半径が等しいので PA＝PB＝QA＝QB で、四角形APBQ はひし形になり、ひし形の対角線は、垂直に、それぞれの真ん中で交わります。

垂直二等分線の性質：線分ABの垂直二等分線上の点は、2点A、Bから等しい距離にあります。逆に、2点A、Bから等しい距離にある点は、線分ABの垂直二等分線の上にあります。図の点P、Rのように、そのような点は数えきれないほどあります。

3点から等しい距離にある点：3点A、B、Cから等しい距離にある点は、ABの垂直二等分線の上にも、BCの垂直二等分線の上にもあります。だから、2本の垂直二等分線の交点Oがその点です（OA＝OB＝OC）。

標準点Pから直線ℓに垂線PHをひくと PH＝4cm でした。ℓ上のHとちがう点Aについて、PA の長さは 4cm より長いですか、短いですか。

Pからℓ上の点にひいた線分の中では、垂線PHがいちばん短いので、PAはPHより長くなります。

答え：4cm より長い

標準線分ABの垂直二等分線上に点Pがあります。PA＝7cm のとき、PB の長さを答えなさい。また、3点A、B、Cを通る円の中心は、どのようにして作図しますか。

垂直二等分線上の点は、2点A、Bから等しい距離にあるので PB＝PA＝7cm です。3点を通る円の中心は、3点から等しい距離にあるので、ABの垂直二等分線とBCの垂直二等分線を作図し、その交点を中心にします。

答え：PB＝7cm、2本の垂直二等分線の交点が中心

角の二等分線と、直線上の点を通る垂線

📄 プリント10ページ

角の二等分線の作図：① 角の頂点Oを中心とする円をかき、2辺との交点をA、Bとする → ② A、Bを中心に、同じ半径の円をかき、交点をPとする → ③ 半直線OPをひく。わけ：OA＝OB（①の円の半径）、AP＝BP（②で同じ半径）なので、四角形OAPBは直線OPを軸とする線対称な図形です。だから ∠AOP＝∠BOP になります。

性質：点から辺までの距離は、点から辺にひいた垂線の長さです。図の点Pは二等分線の上にあるので、PH＝PK です。たとえば ∠AOB＝70° なら、∠AOP＝70÷2＝35（°）です。

直線上の点Pを通る垂線：① Pを中心とする円をかき、直線との交点をC、Dとする → ② C、Dを中心に、①より大きい同じ半径の円をかき、交点をEとする → ③ 直線PEをひく（PE⊥CD）。

標準∠AOB＝86° の二等分線を半直線OPとするとき、∠AOP は何度ですか。また、直線は何度の角とみることができますか。その角を二等分すると何度になりますか。

86÷2	∠AOP＝∠AOB の半分
＝43	43°

180÷2	直線は180°の角
＝90	垂線がかける

答え：∠AOP＝43°、直線は180°の角で、二等分すると90°

円の接線と、円の中心の作図

📄 プリント11ページ

接線の作図：① 中心Oと接点Aを通る半直線OAを、Aの先までのばす → ② Aを通る、OAの垂線をひく（直線上の点を通る垂線）。接線は接点を通る半径に垂直なので、この垂線が接線です。

円の中心を見つける：円の中心は、弦の両はしから等しい距離にあるので、弦の垂直二等分線の上にあります。弦を2本ひいて、それぞれの垂直二等分線をかくと、交点が円の中心です。3点A、B、Cを通る円の中心も、ABとBCの垂直二等分線の交点です。

接点が決まっている円の中心：直線ℓ上の点Aで、ℓに接する円の中心は、接線の性質から、Aを通るℓの垂線の上にあります。その上のどこを中心にしても、Aで接する円がかけます。中心を1つに決めるには、ほかの条件が必要です。

基本円Oの周上の点Aで円に接する直線ℓがあります。半径OAとℓがつくる角は何度ですか。

接線は、接点を通る半径に垂直です。

答え：90°

標準円の中心が分からない円があります。その中心を作図する手順を答えなさい。

円周上に2本の弦をひき、それぞれの垂直二等分線を作図します。

答え：2本の弦の垂直二等分線の交点が、円の中心

条件に合う点の作図：基本の作図に置きかえる

📄 プリント12ページ

例1：直線ℓ上にあって、2点A、Bから等しい距離にある点Pは、ABの垂直二等分線とℓの交点です。

例2：△ABCの辺BC上にあって、2辺AB、ACから等しい距離にある点Pは、∠Aの二等分線とBCの交点です。

例3：ℓ上の点Pで、AP＋PBがいちばん短くなる点（A、Bはℓの同じ側）は、Bをℓについて対称移動したB′とAを結び、ℓとの交点がPです。B′は、ℓ上の2点を中心にBを通る円を2つかいた、Bでない方の交点です。わけ：対称移動では、ℓ上の点Pについて PB＝PB′ です（ℓは線分BB′の垂直二等分線）。だから AP＋PB＝AP＋PB′ で、2点A、B′を結ぶ線のうち線分がいちばん短いので、A、P、B′が一直線に並ぶときです。

標準△ABCの辺BC上にあって、2点A、Bから等しい距離にある点Pを作図するには、どうすればよいですか。

「2点A、Bから等しい距離」は、線分ABの垂直二等分線の上にあることです。「辺BC上」は、直線BC上にあることです。

答え：ABの垂直二等分線を作図し、辺BCとの交点をPとする

発展直線ℓの反対側に2点A、Bがあります。ℓ上の点Pで、AP＋PBがいちばん短くなる点Pは、どう決めますか。

A、Bがℓの反対側にあるので、AとBを結ぶ線分はℓと交わります。2点を結ぶ線のうち線分がいちばん短いので、A、P、Bが一直線に並ぶときが最短です。

答え：線分ABとℓの交点がP（対称移動は使わない）

いろいろな角の作図：90°と60°を組み合わせる

📄 プリント13ページ

75°の作図：75°は 60＋15＝75 と考えます。直線ℓ上の点Oで、半直線OCを1辺とします。① ℓの上側に、90°（垂線）と60°（正三角形）をつくる → ② その間の30°（90−60＝30）を二等分して、15°をつくる → ③ OCから 60°＋15°＝75° の半直線をひく。

決まった角だけ回転移動した点：点Oを中心として、点Pを時計の針の回転と反対の向きに60°回転移動した点Qは、回転移動の性質から OQ＝OP、∠POQ＝60° です。だから Q は、線分OPを1辺とする正三角形の頂点です。O、Pを中心に、半径OPの円をかき、ℓの上側の交点がQです。

基本45°の角を作図するには、どの角をどうしますか。

90÷2	90°を二等分する
＝45	45°

答え：垂線でつくった90°を、角の二等分線で二等分する

標準直線ℓ上の点Oで、ℓの上側に、半直線OCから 150° の角を作図するには、どうしますか。

直線は180°の角なので、ℓの反対側の半直線から30°の角をつくると、残りが150°になります。30°は、90°と60°の間の角（90−60＝30）です。

180−30	直線180°から30°をひく
＝150	150°

答え：ℓの反対側の半直線から30°をつくり、残りの角が150°

おうぎ形：弧の長さと面積は、円の何分のいくつか

📄 プリント14・15ページ

ケーキを3等分するには：円の形のケーキを同じ大きさに3等分するには、中心のまわりの360°を3つに分けて、360÷3＝120 より、120°ずつにします。正六角形の6つの点を1つおきに中心と結ぶと、120°ずつに分けられます。

求め方：① 円周 2πr（円の面積 πr²）を出す → ② 中心角が円の何分のいくつか a360 を、約分して出す → ③ ①に②をかけ、単位（cm、cm²）を書く。

例：半径6cm、中心角120°のおうぎ形では、弧の長さが 2π×6×120360＝4π（cm）、面積が π×6²×120360＝12π（cm²）です。

中心角を求める：中心角を x° とおき、弧の長さや面積の式にあてはめて方程式をつくります。半径9cm、弧の長さ3πcm のおうぎ形では、2π×9×x360＝3π、120πx＝3π、120x＝3 より x＝60 です。確かめ：3π は円周 18π の 16 なので、中心角は360°の 16 で60°です。

おうぎ形の周の長さ：周の長さ＝弧の長さ＋半径2本です。半径6cm、中心角120°のおうぎ形では、弧の長さが 4π、半径2本の長さが 6×2＝12（cm）なので、周の長さは 4π＋12（cm）です。

2つのおうぎ形が重なった部分：1辺6cmの正方形ABCDの中に、A、Cを中心とする半径6cm、中心角90°のおうぎ形を2つかきます。重なった部分は、BDで分けると同じ形2つ分で、片側＝おうぎ形ABD（Aが中心）−直角二等辺三角形ABD です。おうぎ形ABDの面積は π×6²×90360＝9π、三角形ABDの面積は 6×6÷2＝18 なので、全体は (9π−18)×2＝18π−36（cm²）です。

基本半径12cm、中心角150°のおうぎ形の、弧の長さと面積を求めなさい。

中心角150°は円の 150360＝512 です。

弧の長さ：2π×12×512＝24π×512＝10π（cm）

面積：π×12²×512＝144π×512＝60π（cm²）

答え：弧の長さ 10πcm、面積 60πcm²

標準半径10cmのおうぎ形の面積が 25πcm² のとき、中心角を求めなさい。

中心角を x° とおき、面積の式にあてはめます。

π×10²×x360＝25π、518πx＝25π、518x＝25 より、x＝25×185＝90 です。

確かめ：円の面積は 100π で、25π は 14 なので、中心角は360°の 14 で90°です。

答え：90°

標準半径10cm、中心角72°のおうぎ形の周の長さを求めなさい。

弧の長さは 2π×10×72360＝20π×15＝4π（cm）です。半径2本の長さは 10×2＝20（cm）なので、周の長さは、弧の長さに半径2本をたして、4π＋20（cm）です。

答え：(4π＋20)cm

発展1辺4cmの正方形ABCDの中に、Aを中心とする半径4cm、中心角90°のおうぎ形ABDをかきます。正方形から、おうぎ形ABDをのぞいた部分の面積を求めなさい。

正方形の面積は 4×4＝16、おうぎ形ABDの面積は π×4²×90360＝16π×14＝4π です。

のぞいた部分の面積は 16−4π（cm²）で、π のまま答えます。

答え：(16−4π)cm²

まとめ

平面図形は、「動かす」「かく」「はかる（π）」の3つです。移動には平行移動・回転移動・対称移動があり、動かしても形と大きさは変わらず、ぴったり重なる図形は合同です。作図は、定規とコンパスだけで、交わる2つの円を使って垂線・垂直二等分線・角の二等分線・接線をかき、条件を基本の作図に置きかえて点を求めます。おうぎ形は、弧の長さと面積に、円の a360 をかけて π のまま答えます。プリントの確認問題で、作図の手順を自分の手で何度もかいて練習してみてください。