【中1数学】空間図形の要点まとめ｜無料プリント付き

中1数学「空間図形」を、立体の名前から体積・表面積まで、図と例題で1つずつ確かめるページです。この単元は「立体を、分ける・見る・はかる」の3つが土台です。どの見出しも「答え → 図 → 理由 → 解き方」の順に書いています。紙に書いて練習したい人は、下の無料プリントを使ってください。

立体の名前：底面の形と、とがっているかで決まる

📄 プリント1・2ページ

この単元で学ぶこと：①立体の種類と名前 ②立体の見方と調べ方（空間の直線や平面の位置・面や線の動き・展開図・投影図）③体積と表面積、の3つです。小学校では円周率を3.14として計算しましたが、中学では π のまま計算します。底面の半径5cm、高さ6cm の円柱の体積は、5×5×3.14×6＝471（cm³）が近い値で、π×5²×6＝150π（cm³）がぴったり正確な値です。

身のまわりの物を分ける：缶は円柱、ティッシュの箱は四角柱（直方体）、ピラミッドは四角錐、三角コーンは円錐、ボールは球です。見方は3つ、曲面（曲がった面）があるか、底面はいくつあるか、先がとがっているかです。

名前の決め方：①底面の形を見る（三角形・四角形・五角形・…・円）②先がとがっているかを見る（とがっていなければ柱、とがっていれば錐）。たとえば、底面が八角形でとがっていなければ八角柱、底面が五角形でとがっていれば五角錐です。

正角柱・正角錐：底面が正多角形で、側面がすべて合同な長方形の角柱を正角柱、底面が正多角形で、側面がすべて合同な二等辺三角形の角錐を正角錐といいます（例：正三角柱、正四角錐）。

基本次の立体の名前を答えなさい。(1) 底面が七角形で、先がとがっていない立体　(2) 底面が六角形で、先がとがっている立体

(1) 底面が七角形で、とがっていないので柱です。(2) 底面が六角形で、とがっているので錐です。

答え：(1) 七角柱　(2) 六角錐

多面体と正多面体：辺と頂点の数は式で求める

📄 プリント3ページ

三角錐は四面体、三角柱と四角錐は五面体、直方体は六面体です。円柱・円錐・球は曲面があるので、多面体ではありません。

辺と頂点の数の求め方：図で数えるのは大変なので、式で求めます。正八面体（面の数8、1つの面は正三角形、1つの頂点に4つの面が集まる）で確かめます。

• 辺の数＝面の数×1つの面の辺の数÷2（1本の辺を2つの面が共有しているので、2でわる）
• 頂点の数＝面の数×1つの面の頂点の数÷1つの頂点に集まる面の数

基本五角柱は何面体ですか。

底面が2つ、側面が5つなので、面は 2＋5＝7（つ）です。

答え：七面体

標準立方体（正六面体）で、面の数は6、1つの面は正方形、1つの頂点に3つの面が集まります。辺の数と頂点の数を、式を書いて求めなさい。

6×4÷2	面の数×1つの面の辺の数÷2
＝12	辺の数

6×4÷3	面の数×1つの面の頂点の数÷集まる面の数
＝8	頂点の数

平面が1つに決まる条件：一直線上にない3点

📄 プリント4ページ

かぎりなく広がった平らな面を平面といい、「平面P」のように書きます。直線上のすべての点が平面P上にあるとき、「直線は平面P上にある」といいます。2点が平面P上にあれば、その2点を通る直線は、平面P上にあります。

鉛筆の先 B の真下の、地図の上の点を H とすると、鉛筆 AB、線 BH、線 AH は、1つの平面の上にあります。

平面が1つに決まるのは、次の場合です（どれも「一直線上にない3点」を取り出せるからです）。

身近な例：3本脚のいすは、3本の脚の先が一直線上にないので、床がでこぼこでも、がたつきません。4本脚のいすは、床がでこぼこだと、1本が浮いてがたつくことがあります。

標準次のア〜エのうち、平面が1つに決まるものをすべて選びなさい。ア 2点　イ 平行な2直線　ウ 交わる2直線　エ 1つの直線と、その直線上にある1点

アは2点だけなので決まりません。エは、直線上の点は「その直線上にない1点」ではないので決まりません（その直線のまわりに平面がいくつもとれます）。

答え：イ、ウ

空間の2直線：交わる・平行・ねじれの位置

📄 プリント5ページ

平面の上では、2直線は「交わる」か「平行」のどちらかです。空間では、交わらないのに平行でもない位置があります。

交わる2直線が直角のとき、「垂直に交わる」といいます。直方体では、1つの辺と交わる4本の辺は、すべて直角に交わります。

辺 AB とねじれの位置にある辺の探し方：①AB と交わる辺を除く（AD・AE・BC・BF）②AB と平行な辺を除く（DC・EF・HG）③残りがねじれの位置です（CG・DH・EH・FG）。確かめ：辺12本＝AB 自身＋交わる辺＋平行な辺＋ねじれの位置の辺、1＋4＋3＋4＝12。

平行とねじれの位置のちがい：平行な2直線は、同じ平面上にあります（平面が1つに決まる条件）。ねじれの位置にある2直線は、どちらもふくむ平面がありません。たとえば AB と CG は、どの平面にも、2本いっしょには入りません。平行かどうかは、「遠くはなれているか」ではなく、「同じ平面上にあって交わらないか」で決めます。

標準上の直方体 ABCD-EFGH で、辺 BF とねじれの位置にある辺をすべて答えなさい。

BF と交わる辺は、点 B を通る AB・BC と、点 F を通る EF・FG の4本です。BF と平行な辺は AE・CG・DH の3本です。残りがねじれの位置です。

答え：DC、DA、GH、HE

確かめ：BF 自身1本＋交わる辺4本＋平行な辺3本＋ねじれの位置の辺4本＝12本で、辺の数と合います。

直線と平面・2つの平面：交線と平行な面の探し方

📄 プリント6ページ

2つの平面：面 ABCD と面 ABFE の交線は辺 AB です。面 ABCD と面 EFGH は平行です（面は、頂点をまわる順に「面 ABFE」と書きます）。

平行な2つの平面に、もう1つの平面が交わるとき：できる2本の交線は平行になります。

立方体で、平行な面 ABCD と面 EFGH に、平面 ABGH が交わっています。交線は AB と HG で、AB∥HG です。わけは、AB と HG はどちらも平面 ABGH 上にあり、AB は面 ABCD 上、HG は面 EFGH 上にあって、この2つの面は平行で交わらないので、AB と HG も交わらないからです。同じ平面上で交わらないので、平行です。

辺 AB に平行な面の探し方：①AB をふくむ面を除く（面 ABCD・面 ABFE）②AB と交わる面を除く（面 ADHE・面 BCGF）③残りが平行な面です（面 EFGH・面 DCGH）。

標準直方体 ABCD-EFGH で、(1) 辺 BF に平行な面をすべて答えなさい。(2) 面 ABCD と面 BCGF の交線を答えなさい。

(1) BF をふくむ面は面 ABFE・面 BCGF、BF と交わる面は、点 B を通る面 ABCD と、点 F を通る面 EFGH です。残りが平行な面です。(2) 2つの面に共通する辺を探します。

答え：(1) 面 ADHE、面 DCGH　(2) 辺 BC

垂直と距離：直線と平面が垂直とは、高さとは

📄 プリント7ページ

直線と平面の垂直：確かめるには、Oを通る P 上のちがう2本の直線（m、n）に垂直かどうかを見ます。1本だけでは言えません。直方体で、辺 AE は面 EFGH に垂直です（AE は EF・EH に垂直）。AE、BF、CG、DH はどれも面 EFGH に垂直で、たがいに平行です。このように、1つの平面に垂直な2直線は、平行です。

2つの平面のつくる角：交わる2つの平面の交線上の点から、それぞれの平面の上に、交線に垂直な直線をひきます。その2直線のつくる角を、2つの平面のつくる角といいます。つくる角が90°のとき、2つの平面は垂直です。直方体で、面 ABCD と面 ABFE は垂直です（交線 AB に、AD、AE が垂直で、∠DAE＝90°）。

点と平面との距離、柱と錐の高さ：点と平面との距離は、その点から平面にひいた垂線の長さです（点から平面までの線分で、いちばん短い）。平行な2つの平面の距離は、一方の平面上の点から、もう一方の平面までの距離で、どこで測っても同じです。角柱・円柱の高さは2つの底面の距離、角錐・円錐の高さは、頂点と底面との距離です。上の正四角錐では、頂点 O から底面にひいた垂線 OH が高さで、側面の辺 OA の長さではありません。

基本直方体 ABCD-EFGH で、面 ABFE に垂直な面をすべて答えなさい。

面 ABFE と辺を共有してとなり合う面は、面 ABCD（交線 AB）、面 BCGF（交線 BF）、面 EFGH（交線 EF）、面 ADHE（交線 AE）の4つで、直方体ではどれも直角に交わります。向かい合う面 DCGH は平行です。

答え：面 ABCD、面 BCGF、面 EFGH、面 ADHE

標準底面が1辺8cm の正方形の正四角錐があります。側面の三角形の高さは5cm、頂点から底面にひいた垂線の長さは3cm です。この正四角錐の高さは何cm ですか。

錐の高さは、頂点から底面に垂直にひいた線分の長さです。側面の三角形の高さ5cm は高さではありません。

答え：3cm

面や線を動かす：回転体と切り口

📄 プリント8ページ

点が動くと線、線が動くと面、面が動くと立体ができます。

回転体：ℓを回転の軸といいます。円柱・円錐の側面をえがく線分を母線といいます。

回転体のかき方は3つです。①もとの図形を、軸について対称移動した図形を、軸の反対側にかき足す ②軸からいちばん遠い点がえがく円が、立体のいちばん外側になる ③図形と軸のあいだにすき間があれば、そこは穴になる。

切り口：回転の軸に垂直な平面で切ると、切り口は円です（穴のあいた立体は輪の形）。回転の軸をふくむ平面で切ると、切り口は、もとの図形と、それを軸で対称移動した図形を合わせた形です。

標準(1) 軸から離れた位置にある長方形を、軸のまわりに1回転させてできる立体の名前を答えなさい。(2) 円錐を、回転の軸をふくむ平面で切ったときの切り口の形を答えなさい。

(1) 長方形と軸のあいだにすき間があるので、そこが穴になります。(2) 円錐は直角三角形を回してできます。切り口は、その直角三角形と、軸について対称な直角三角形を合わせた形です。

答え：(1) まん中に穴のあいた円柱　(2) 二等辺三角形

角柱・円柱の展開図：側面の横の長さは底面のまわり

📄 プリント9ページ

側面にかけたひもの最短：円柱と正三角柱（どちらも高さ4cm）の側面に、底面の点 A から1周して、A の真上の点 B までひもをかけます。いちばん短くなるのは、展開図の上で、A と B を結ぶ線分のときです。

縦が同じなので、横が短い方がひもも短くなります。π は3より大きいので、6π は 6×3＝18 より大きく、正三角柱の方が短いです。

立方体の展開図：組み立てたとき、重なる点や辺を探します。となり合う正方形が直角をつくる所の2辺と、横に一列に並んだ4つの正方形の両はしの辺は、重なります。下の展開図では、点 P と点 Q が重なります。

基本(1) 底面の半径が5cm、高さが8cm の円柱の展開図で、側面の長方形の横の長さを求めなさい。(2) 底面が1辺4cm の正五角形で、高さが6cm の正五角柱の展開図で、側面の長方形の横の長さを求めなさい。

2π×5	横＝底面の円周
＝10π	(1) 10πcm

4×5	横＝底面のまわり
＝20	(2) 20cm

角錐・円錐の展開図：おうぎ形の半径と中心角

📄 プリント10・11ページ

角錐の展開図：正四角錐の展開図は、底面の正方形1つと、側面の合同な二等辺三角形4つです。組み立てると、4つの三角形の頂点は1つに集まって、角錐の頂点になります（図は、底面の1辺が4cm、側面の三角形の高さが5cm の例）。

底面の辺の数を増やすと：正四角錐、正六角錐、正八角錐…と、底面の辺の数を増やしていくと、側面の二等辺三角形はだんだん細く、多くなります。底面は円に近づき、側面はおうぎ形に近づきます。こうして、円錐の展開図は、底面の円と側面のおうぎ形になります。

半径と弧：組み立てると、おうぎ形の弧が、底面の円周にぴったり重なります。底面の半径4cm、母線10cm の円錐なら、弧の長さは 2π×4＝8π（cm）、おうぎ形の半径は母線の 10cm です。

中心角の求め方：半径 r、中心角 a° のおうぎ形の弧の長さは ℓ＝2πr×a360 です。中心角を x° とおき、弧の長さ（母線を半径とする円の円周の x360）が、底面の円周に等しいとして、方程式をつくります。左辺を計算し、両辺を π でわって、x を求めます。

確かめ：弧 8π は、円周 20π の 25 なので、中心角は 360×25＝144（°）です。

180°より大きい中心角：底面の半径5cm、母線9cm の円錐なら、同じ方程式で x＝200 になります。200° は 180° より大きいので、半円より大きいおうぎ形です。中心角は、180°より小さいとは限りません。

展開図のかき方：母線の長さを半径とする円をかき、中心角 x° のおうぎ形をとります。その弧に接するように、底面の半径の円をかきます。

標準底面の半径が3cm、母線の長さが12cm の円錐の展開図で、側面のおうぎ形の中心角を、方程式をつくって求めなさい。

2π×12×x360＝2π×3	弧の長さ＝底面の円周
115πx＝6π	左辺を計算する（2×12÷360＝115）
115x＝6	両辺をπでわる
x＝90	両辺に15をかける

確かめ：弧 6π は、円周 24π の 14 なので、中心角は 360×14＝90（°）です。

発展母線の長さが10cm で、中心角が216°のおうぎ形を丸めて、円錐の側面をつくります。この円錐の底面の半径は何cm ですか。

弧の長さを求め、それが底面の円周に等しいとして、底面の半径を求めます。

2π×10×216360	おうぎ形の弧の長さ
＝2π×10×35	216÷360＝35
＝12π	弧の長さ（底面の円周）

底面の半径を r cm とすると、2πr＝12π なので r＝6 です。確かめ：360×610＝216（°）で、中心角と合います。

答え：6cm

投影図：立面図は上、平面図は下

📄 プリント12ページ

円錐は、立面図が二等辺三角形、平面図が円です。円錐の高さは、見取図の上では測れませんが、正面から見た図にかけば、実際の高さが線になって表れます。

投影図から立体を当てる：底面を下にして置いた立体で、平面図は底面の形を表します。立面図が三角形なら錐、長方形なら柱です（立面図が長方形・平面図が三角形なら三角柱）。

実際の長さが表れる所：正面に平行な線分は、立面図に実際の長さで表れます。円錐の立面図の高さと、左右の斜めの辺（母線）は、正面に平行なので、実際の長さです。正四角錐（底面の辺が正面と平行）の側面の辺は、奥へ斜めにのびているので、立面図では実際より短く表れます。

1つに決まらない例：立面図も平面図も合同な長方形のとき、四角柱（直方体）のほかに、横にねかせた円柱も同じ図になります。真横から見た図を使えば区別できます。

基本立面図が長方形、平面図が三角形の立体の名前を答えなさい。

平面図は底面の形を表すので、底面は三角形です。立面図が長方形なので、錐ではなく柱です。

答え：三角柱

角柱・円柱の体積：底面積×高さ

📄 プリント13ページ

2つのテントの広さを体積でくらべます（テント B は次の見出し）。柱は、底面を高さの分だけ動かした立体です。底面を何枚も重ねた形なので、体積は「底面積×高さ」です。

テント A（ねかせた三角柱）：入り口の三角形は、底辺2m・高さ1.5m。奥行きは3m です。ねかせた三角柱では、底面は入り口の三角形、高さは奥行きです。

円柱（半径3cm・高さ4cm）：

まん中に穴のあいた円柱：軸から近い辺までの長さが穴の半径、遠い辺までの長さが外の半径です。外の半径4cm・穴の半径2cm・高さ5cm のとき、大きい円柱−穴の円柱で求めます。

基本ねかせた三角柱のテントがあります。入り口の三角形は、底辺3m、高さ2m で、奥行きは5m です。体積を求めなさい。

12×3×2	底面積（入り口の三角形）
＝3	底面積（m²）

3×5	V＝Sh（高さは奥行き）
＝15	体積（15m³）

標準外の半径が5cm、穴の半径が3cm、高さが4cm の、まん中に穴のあいた円柱の体積を求めなさい。

π×5²×4−π×3²×4	大きい円柱−穴の円柱
＝100π−36π	大きい円柱 100π、穴の円柱 36π
＝64π	体積（64πcm³）

角錐・円錐の体積：同じ底面・同じ高さの柱の3分の1

📄 プリント14ページ

底面が合同で高さが等しい円錐と円柱の容器で、円錐の容器に水を入れて円柱の容器に移すと、3杯でちょうどいっぱいになります（角錐と角柱も同じ）。

テント B と、広さのくらべ：テント B は三角錐です。地面の三角形は、直角をはさむ2辺が4m・4m の直角三角形、高さは1.5m です。

テント A は 4.5m³、テント B は 4m³ なので、A の方が広いです。地面の広さは、A が 2×3＝6（m²）、B が 8m² で、B の方が広いのに、錐は柱の3分の1なので、体積は B の方が小さくなりました。

回転体の体積：直角をはさむ辺が3cm と6cm の直角三角形を回します。軸にする辺で、体積が変わります。

基本底面が1辺6cm の正方形で、高さが7cm の四角錐の体積を求めなさい。

13×6×6×7	V＝13Sh（底面積 6×6）
＝13×36×7
＝84	体積（84cm³）

標準直角をはさむ辺が2cm と6cm の直角三角形があります。6cm の辺を軸として1回転させてできる立体と、2cm の辺を軸として1回転させてできる立体の体積を、それぞれ求めなさい。

どちらも円錐です。6cm の辺が軸なら半径2cm・高さ6cm、2cm の辺が軸なら半径6cm・高さ2cm です。

13×π×2²×6	6cm の辺が軸（半径2cm・高さ6cm）
＝13×π×24
＝8π	体積（8πcm³）

13×π×6²×2	2cm の辺が軸（半径6cm・高さ2cm）
＝13×π×72
＝24π	体積（24πcm³）

表面積：展開図の面積を求める

📄 プリント15ページ

用語：表面積は立体の表面全部の面積、側面積は側面全体の面積、底面積は1つの底面の面積です。求め方は、①展開図をかいて、長さを書きこむ ②側面積を求める ③底面積を求める（柱は2つ、錐は1つ）。たして、単位（cm²）を書く、の順です。

円柱（半径3cm・高さ4cm）：展開図は、前の見出しの図のとおりです。

正四角錐（底面の1辺6cm、側面の三角形の高さ5cm）：「側面の三角形の高さ」OM は、錐の高さとは別の長さです。

円錐（底面の半径4cm・母線10cm）：中心角144°は、おうぎ形の見出しで求めました。おうぎ形の面積は、S＝πr²×a360 で求めます。

基本底面の半径が5cm、高さが2cm の円柱の表面積を求めなさい。

2×2π×5	側面積＝縦×横（横＝底面の円周 2π×5）
＝2×10π
＝20π	側面積

20π＋π×5²×2	側面積＋底面積×2
＝20π＋50π
＝70π	表面積（70πcm²）

標準底面が1辺8cm の正方形で、側面の三角形の高さが5cm の正四角錐の表面積を求めなさい。

12×8×5×4	側面積（側面の三角形1つ 12×8×5＝20 が合同な4つ）
＝20×4
＝80	側面積

80＋8×8	側面積＋底面積
＝80＋64
＝144	表面積（144cm²）

発展底面の半径が3cm、母線の長さが12cm の円錐の表面積を求めなさい。ただし、展開図の側面のおうぎ形の中心角は90°です。

π×12²×90360	側面積＝おうぎ形の面積（半径は母線）
＝π×144×14
＝36π	側面積

36π＋π×3²	側面積＋底面積（1つ）
＝36π＋9π
＝45π	表面積（45πcm²）

球の体積と表面積：ちょうど入る円柱とくらべる

📄 プリント16ページ

半径 r の球が、ちょうど入る円柱とくらべます。この円柱は、底面の半径が r、高さが 2r です。

体積：実験で調べると、球の体積は、ちょうど入る円柱の体積の 23 になります。円柱の体積は πr²×2r＝2πr³ なので、球の体積は 23×2πr³＝43πr³ です。

表面積：球の表面積は、ちょうど入る円柱の側面積と等しくなります。円柱の側面積は 2πr×2r＝4πr² です。

例（半径2cm の球）：

半球（半径6cm）：半球の体積は、球の半分です。表面積は、曲面（球の表面積の半分）＋切り口の円です。

基本半径3cm の球の、体積と表面積を求めなさい。

43×π×3³	体積
＝43×π×27
＝36π	体積（36πcm³）

4×π×3²	表面積
＝36π	表面積（36πcm²）

数は同じ36πでも、体積は cm³、表面積は cm² で、単位がちがいます。

標準半径3cm の球を、中心を通る平面で半分に切った半球の、体積と表面積を求めなさい。

43×π×3³×12	体積（球の半分）
＝36π×12
＝18π	体積（18πcm³）

4×π×3²×12＋π×3²	曲面＋切り口の円
＝18π＋9π
＝27π	表面積（27πcm²）

半球の表面積は、球の表面積36πの半分の18πではありません。切り口の円9πを足します。

まとめ

立体の名前は底面の形と、とがっているかで決まります。空間の2直線は交わる・平行・ねじれの位置の3つで、平面は一直線上にない3点で1つに決まります。回転体は軸について対称な図形をかき足して考え、展開図では、側面の横の長さは底面のまわり、円錐のおうぎ形は半径が母線・弧が底面の円周です。体積は柱が底面積×高さ、錐はその3分の1、球は 43πr³、表面積は展開図の面積で、球は 4πr² です。プリントの確認問題で、体積と表面積の計算を手を動かして練習してみてください。