【中1数学】方程式の要点まとめ｜無料プリント付き

中1数学「方程式」を、解き方の順番と文章題の立て方で1つずつ確かめるページです。この単元は「方程式は、決まった順番で x＝□ の形にする」と「同じ数量を2通りに表して＝で結ぶ」の2つが土台です。どの見出しも「答え → 例 → 解き方」の順に書いています。紙に書いて練習したい人は、下の無料プリントを使ってください。

方程式とは？ 解とは？ 代入して確かめる

📄 プリント1・2ページ

方程式で何ができるか：「ある数を4倍して9をひくと、31になります。ある数は？」を、算数では答えから逆にたどります（31＋9＝40、40÷4＝10）。方程式なら、文の順のまま 4x−9＝31 と書けます。この単元では、①方程式を決まった順番で解く ②文章題を方程式で解く ③比例式を解く、の3つを学びます。

x にいろいろな数を入れて、左辺 4x−9 がいくつになるか調べます。

x＝10 のとき左辺と右辺が等しいので、10 が解です。＝の左側を左辺、右側を右辺、合わせて両辺といい、解を求めることを方程式を解くといいます。

確かめ方：x＝3 は、方程式 2x＋7＝5x−2 の解でしょうか。左辺は 2×3＋7＝13、右辺は 5×3−2＝13 で等しいので、x＝3 は解です。

負の数を代入するとき：x＝−6 は、方程式 3x＋10＝x−2 の解でしょうか。左辺は 3×(−6)＋10＝−8、右辺は (−6)−2＝−8 で等しいので、解です。x＝2 を代入すると、左辺は 3×2＋10＝16、右辺は 2−2＝0 で等しくないので、x＝2 は解ではありません。

基本x＝−2 は、方程式 5x＋7＝2x＋1 の解ですか。

左辺は 5×(−2)＋7＝−10＋7＝−3、右辺は 2×(−2)＋1＝−4＋1＝−3 で等しいです。

答え：解である

標準−1、0、1、2 のうち、方程式 3x−2＝x＋2 の解はどれですか。

x＝2 を代入すると、左辺は 3×2−2＝4、右辺は 2＋2＝4 で等しくなります。ほかの値は、x＝1 で 1 と 3、x＝0 で −2 と 2、x＝−1 で −5 と 1 となり、等しくなりません。

答え：2

等式の性質：両辺に同じことをする

📄 プリント3ページ

C は、両辺にたす・ひく・かける数、または両辺をわる数です。A＝B なら B＝A でもあります。

x の係数が分数のとき：係数は、3x の3のように x にかけられている数です。係数が分数のときは、両辺に逆数（分子と分母を入れかえた数）をかけます。

基本等式の性質を使って、−5x＝35 を解きなさい。

−5x＝35	もとの式
−5x÷(−5)＝35÷(−5)	両辺を −5 でわる（性質④）
x＝−7

標準等式の性質を使って、34x＝−9 を解きなさい。

34x＝−9	もとの式
34x×43＝−9×43	両辺に逆数 43 をかける（性質③）
x＝−12

移項：項を符号をかえて反対の辺へ移す

📄 プリント4ページ

移項とは：3x−8＝13 の両辺に8をたすと、左辺の −8 は消え、右辺に ＋8 が残ります。この「左辺の −8 が右辺へ移って ＋8 になる」書き方が移項です。式をたし算だけの形にしたときの1つ1つを項といい、3x−8 は 3x＋(−8) なので、項は 3x と −8 です。

x の項も移項できます：7x＝4x＋15 は、右辺の 4x を移項して 7x−4x＝15、3x＝15、x＝5 です。

わり切れないとき：分数のまま答えます。5x＋2＝x＋7 は 4x＝5 となり、x＝54 です。

解から a を求める：x についての方程式 2x−a＝x＋3 の解が −5 のとき、x に −5 を代入すると a の方程式になります。2×(−5)−a＝−5＋3 → −10−a＝−2 → −a＝8 → a＝−8（−a＝8 の両辺に −1 をかけます）。

標準9x＋4＝5x−12 を解きなさい。

9x＋4＝5x−12	もとの式
9x−5x＝−12−4	移項（5x と 4）
4x＝−16	まとめる
x＝−4	両辺を4でわる

発展x についての方程式 3x＋a＝x−7 の解が −2 のとき、a の値を求めなさい。

3×(−2)＋a＝−2−7	x＝−2 を代入
−6＋a＝−9	両辺を計算
a＝−9＋6	−6 を移項
a＝−3

かっこ・小数のある方程式：整えてから、いつもの順番

📄 プリント5ページ

かっこがあるとき：−2(x−4) は、−2×x＝−2x、−2×(−4)＝＋8 です。マイナスどうしをかけるとプラスになります。−(x−4) は −1 をかけるのと同じで、−x＋4 のように中の項の符号が全部かわります。

両辺にかっこがあるときも、それぞれ外します。

小数があるとき：小数第1位まで（0.4 など）なら10倍、小数第2位まで（0.15 など）あれば100倍します。整数の項にもかけ忘れないようにします。

標準2(x＋3)−(x−4)＝13 を解きなさい。

2(x＋3)−(x−4)＝13	もとの式
2x＋6−x＋4＝13	かっこを外す（−(x−4) は符号が全部かわる）
x＋10＝13	左辺をまとめる
x＝3	10を移項

標準0.6x＋0.3＝0.2x−1.3 を解きなさい。

0.6x＋0.3＝0.2x−1.3	もとの式
6x＋3＝2x−13	両辺に10をかける
6x−2x＝−13−3	移項
4x＝−16	まとめる
x＝−4	両辺を4でわる

分数のある方程式：分母をはらう、解き方の順番

📄 プリント6ページ

分母をはらう：3と4の最小公倍数（3でも4でもわり切れる数のうち、いちばん小さい数）は12です。数の項の1にも12をかけます。

分子が x＋4 のような式は、約分したらかっこでくるみます。分数の前に − があるときは、− が分子の全部にかかるので、かっこを外すと中の項の符号が全部かわります。

分母をはらえるのは方程式だけです。x2＋x3 のような＝の無い式に6をかけると、6倍の別の式になります。

方程式を解く順番：式を見て、要る手順だけをこの順で行います。かっこ・小数・分数が無ければ、③から始めます。

移項して整理すると ax＝b（a は0でない数）の形になる方程式を、1次方程式といいます。

基本x6＋1＝x3 を解きなさい。

x6＋1＝x3	もとの式
x＋6＝2x	両辺に6をかける
x−2x＝−6	移項
−x＝−6	まとめる
x＝6	両辺を −1 でわる

標準x＋12−x−23＝1 を解きなさい。

x＋12−x−23＝1	もとの式
3(x＋1)−2(x−2)＝6	両辺に6をかけて約分
3x＋3−2x＋4＝6	かっこを外す
x＋7＝6	左辺をまとめる
x＝−1	7を移項

文章題の手順：x を決めて、同じ数量を2通りに表す

📄 プリント7ページ

この4つの手順は文章題の手順で、式を解く ①〜⑤ とは別のものです。いちばん簡単な例は「ある数の3倍に5をたすと、26になります。ある数は？」で、ある数を x とすると 3x＋5＝26、3x＝21、x＝7 です。確かめは 3×7＋5＝26 で合います。

文字で分からないときは、数で試す：パンとおにぎりを合わせて12個買うとき、おにぎりの数は、いつも「12−パンの数」です。パンを x 個とすると、おにぎりは (12−x) 個と表せます。

代金の問題：1個130円のパンと1個90円のおにぎりを、合わせて12個買ったら、代金は1400円でした。パンを何個買いましたか。パンを x 個とすると、おにぎりは (12−x) 個です。

確かめ：130×8＋90×4＝1400 で合います。8は0以上12以下の整数なので問題に合い、答えはパン8個です。

基本ある数の4倍から7をひくと、25になります。ある数を求めなさい。

4x−7＝25	ある数を x とする
4x＝25＋7	−7 を移項
4x＝32	まとめる
x＝8	両辺を4でわる

確かめ：4×8−7＝25 で合います。答えは8です。

標準1本70円の鉛筆と1本120円のペンを、合わせて10本買ったら、代金は850円でした。ペンを何本買いましたか。

ペンを x 本とすると、鉛筆は (10−x) 本です。

120x＋70(10−x)＝850	ペンの代金＋鉛筆の代金＝合計
120x＋700−70x＝850	かっこを外す
120x−70x＝850−700	移項
50x＝150	まとめる
x＝3	両辺を50でわる

確かめ：120×3＋70×7＝360＋490＝850 で合います。答えはペン3本です。

あまる・たりない問題：配り方を2通りに表す

📄 プリント8ページ

算数と方程式のくらべ：あめを何人かの子どもに配ります。1人に3個ずつ配ると10個あまり、1人に5個ずつ配ると4個たりません。算数では、逆にたどるだけでは解けず、「(10＋4) 個は、1人あたりの差 (5−3) 個が人数分」と気づく必要があります（(10＋4)÷(5−3)＝7）。方程式では、子どもを x 人とすると、あめの数は 3x＋10（個）と 5x−4（個）の2通りに表せ、同じ数なので式がつくれます。

「あまる」は＋、「たりない」は−になるのはなぜ？ノートを何人かの生徒に配ります。1人に3冊ずつ配ると8冊あまり、1人に4冊ずつ配ると5冊たりません。生徒が10人だとして数で試します。

10人では 38冊と35冊で合いません。持っているノートが、要る数より少ない（たりない）ならひき、多い（あまる）ならたします。

確かめ：3×13＋8＝47、4×13−5＝47（冊）で合います。答えは生徒13人、ノート47冊です。

基本子どもが x 人います。1人に4個ずつ配ると3個たりないとき、あめの数を x の式で表しなさい。

配るのに要る数は 4x 個で、持っているあめはそれより3個少ないので 4x−3（個）です。

答え：4x−3（個）

標準折り紙を何人かに配ります。1人に5枚ずつ配ると9枚あまり、1人に7枚ずつ配ると3枚たりません。人数と折り紙の枚数を求めなさい。

人数を x 人とすると、折り紙の枚数は 5x＋9（枚）と 7x−3（枚）の2通りに表せます。

5x＋9＝7x−3	折り紙の枚数が同じ
5x−7x＝−3−9	移項
−2x＝−12	まとめる
x＝6	両辺を −2 でわる

確かめ：5×6＋9＝39、7×6−3＝39（枚）で合います。答えは6人、39枚です。

速さの問題①：追いつく問題

📄 プリント9ページ

弟が家から駅に向かって、分速60mで歩いて出発しました。その10分後に、兄が同じ道を分速100mで追いかけました。兄は家を出てから何分後に弟に追いつきますか。兄が家を出てから x 分後に追いつくとすると、弟が歩いた時間は (x＋10) 分です。

確かめ：兄は 100×15＝1500（m）、弟は 60×(15＋10)＝1500（m）で同じです。答えは15分後（追いつく地点は、家から1500m）です。

解が問題に合うか確かめる：もし家から駅までが1200mなら、追いつく地点（家から1500m）は駅より先なので、追いつけません。

x のおき方をかえても同じ答え：先に出た弟の時間を x 分としても解けます。兄の時間は (x−10) 分で、60x＝100(x−10) を解くと x＝25 です。これは弟の時間なので、問われている兄の時間は 25−10＝15（分）となり、同じ答えになります。

基本妹が家を出た10分後に、姉が同じ道を追いかけます。姉が x 分歩いたとき、妹が歩いた時間は何分ですか。

妹は10分早く出ているので、姉が歩いた時間に10分をたします。

答え：(x＋10) 分

標準兄が家から学校に向かって、分速70mで歩いて出発しました。その8分後に、弟が同じ道を自転車で分速210mで追いかけました。弟は家を出てから何分後に兄に追いつきますか。

弟が家を出てから x 分後に追いつくとすると、兄が歩いた時間は (x＋8) 分です。

210x＝70(x＋8)	弟の道のり＝兄の道のり
210x＝70x＋560	かっこを外す
210x−70x＝560	移項
140x＝560	まとめる
x＝4	両辺を140でわる

確かめ：弟は 210×4＝840（m）、兄は 70×(4＋8)＝840（m）で同じです。答えは4分後です。

速さの問題②：行きと帰り・出会う・休む

📄 プリント10ページ

行きと帰り：ある道を、行きは時速4kmで歩き、帰りは時速6kmの早足でもどったら、合わせて5時間かかりました。片道の道のりを x km とすると、行きの時間＋帰りの時間＝5です。

向かい合って進む：AさんとBさんの家は1800mはなれています。Aさんは分速70m、Bさんは分速80mで、同時に家を出て向かい合って進みます。出会うのは x 分後とすると、70x＋80x＝1800 より、150x＝1800、x＝12 で12分後です。

とちゅうで休む：公民館から図書館まで2400mあります。ゆうとさんは公民館を出て分速80mで図書館へ向かい、公民館から400mの所で5分休み、その後も同じ速さで歩きました。みおさんは同時に図書館を出て、分速60mで休まずに公民館へ向かいました。2人が出会うのは出発から何分後ですか。

出発から x 分後に出会うとすると、ゆうとさんが歩いた時間は、休んだ5分をひいた (x−5) 分です。

解が問題に合うか：ゆうとさんは5分後に400mの所に着いて、10分後まで休みます。10分後にみおさんは、図書館から 60×10＝600（m）進み、公民館からは 2400−600＝1800（m）の所で、ゆうとさんの400mより図書館側です。休んでいる間には出会っていません。確かめ：ゆうとさんは 80×15＝1200（m）、みおさんは 60×20＝1200（m）で、合わせて2400mです。

基本2000m はなれた2地点から、2人が同時に向かい合って出発します。1人は分速60m、もう1人は分速90mです。出会うのは何分後ですか。

60x＋90x＝2000	2人の道のりの和＝はなれていた道のり
150x＝2000	まとめる
x＝403	両辺を150でわる

答えは 403 分後（13分20秒後）です。確かめ：60×403＝800（m）、90×403＝1200（m）で、800＋1200＝2000 です。

標準ふもとから頂上まで、行きは時速3km、帰りは同じ道を時速5kmで歩いたら、行きと帰りで合わせて8時間かかりました。ふもとから頂上までの道のりは何km ですか。

x3＋x5＝8	行きの時間＋帰りの時間
5x＋3x＝120	両辺に15をかけて約分
8x＝120	まとめる
x＝15	両辺を8でわる

確かめ：15÷3＝5（時間）、15÷5＝3（時間）で、5＋3＝8 です。答えは15km です。

年齢の問題：x 年後は、どの人も x 歳ふえる

📄 プリント11ページ

何倍になるか：いま、母は36歳、子どもは8歳です。母の年齢が子どもの年齢の3倍になるのは、何年後ですか。

確かめ：6年後は母42歳、子ども14歳で、14×3＝42 です。答えは6年後です。

解が負の数になるとき：いま、母は38歳、子どもは14歳です。母の年齢が子どもの年齢の3倍だったのは、何年前ですか。「何年前」のときも、x 年後として式をつくれます。

x＝−2 は2年前です。確かめ：2年前は母36歳、子ども12歳で、12×3＝36 です。答えは2年前です。

標準いま、父は40歳、子どもは10歳です。父の年齢が子どもの年齢の2倍になるのは、何年後ですか。

40＋x＝2(10＋x)	x 年後とする。父の年齢＝子どもの年齢×2
40＋x＝20＋2x	かっこを外す
x−2x＝20−40	移項
−x＝−20	まとめる
x＝20	両辺を −1 でわる

確かめ：20年後は父60歳、子ども30歳で、30×2＝60 です。答えは20年後です。

発展いま、母は45歳、子どもは15歳です。母の年齢が子どもの年齢の4倍だったのは、何年前ですか。

45＋x＝4(15＋x)	x 年後とする。母の年齢＝子どもの年齢×4
45＋x＝60＋4x	かっこを外す
x−4x＝60−45	移項
−3x＝15	まとめる
x＝−5	両辺を −3 でわる

x＝−5 は5年前です。確かめ：5年前は母40歳、子ども10歳で、10×4＝40 です。答えは5年前です。

割合の問題：割合は、もとにする量にかける

📄 プリント12ページ

割引き：ある品物を、定価の3割引きで買ったら、代金は1260円でした。定価は何円ですか。定価を x 円とすると、定価×0.7＝代金です。

全体を2つに分ける：花屋で、バラとカーネーションを合わせて60本仕入れました。バラの10％とカーネーションの20％が売れ残り、売れ残りは合わせて9本です。バラは何本ですか。数で試すと、バラが30本ならカーネーションは 60−30＝30（本）で、バラが x 本ならカーネーションは (60−x) 本です。

確かめ：バラ30本の10％は 0.1×30＝3（本）、カーネーションは 60−30＝30（本）で、その20％は 0.2×30＝6（本）、3＋6＝9 で合います。

求めるものが x でないとき：「カーネーションの売れ残りは？」と聞かれたら、x＝30 で終わりにしません。カーネーションは30本なので、その20％は 0.2×30＝6（本）です。

標準ある品物を、定価の2割増しで売ったら、代金は1500円でした。定価は何円ですか。

1.2x＝1500	定価を x 円とする。定価×1.2＝代金
12x＝15000	両辺に10をかける
x＝1250	両辺を12でわる

確かめ：1250×1.2＝1500 で合います。答えは1250円です。

発展みかんとりんごを合わせて80個買いました。みかんの25％とりんごの10％がいたんでいて、いたんだ果物は合わせて11個です。みかんは何個ですか。

みかんを x 個とすると、りんごは (80−x) 個です。

0.25x＋0.1(80−x)＝11	いたんだ果物の合計
25x＋10(80−x)＝1100	両辺に100をかける
25x＋800−10x＝1100	かっこを外す
25x−10x＝1100−800	移項
15x＝300	まとめる
x＝20	両辺を15でわる

確かめ：みかん20個の25％は5個、りんごは60個でその10％は6個で、5＋6＝11 です。答えはみかん20個です。

比例式：外側の積＝内側の積

📄 プリント13ページ

なぜ ad＝bc になるのか：a：b＝c：d は比の値が等しいので ab＝cd です。両辺に bd をかけて約分すると、ad＝bc になります。

答えが分数になることもあります。3：7＝x：10 は 3×10＝7×x、7x＝30 から x＝307 です。

比例式を使う：ドレッシングを、酢とサラダ油を1：2の割合で作ります。サラダ油を150mL使うとき、酢は x mL とすると、x：150＝1：2 です。

「差」がわかっているとき：姉と妹のシールの比は 7：4で、姉は妹より12枚多い、というときは、妹を x 枚とすると姉は (x＋12) 枚です。(x＋12)：x＝7：4 を、姉：妹の順にそろえて解くと、(x＋12)×4＝x×7、4x＋48＝7x、−3x＝−48、x＝16 で、妹は16枚（姉は 16＋12＝28 枚）です。

基本6：x＝3：5 を解きなさい。

6：x＝3：5	もとの式
6×5＝x×3	外側の積＝内側の積
30＝3x	計算する
x＝10	両辺を3でわる

確かめ：6：10 の比の値は 610＝35 で、3：5 と同じです。

標準牛乳とコーヒーを3：2の割合で混ぜます。コーヒーを80mL使うとき、牛乳は何mL必要ですか。

x：80＝3：2	牛乳を x mL とする
x×2＝80×3	外側の積＝内側の積
2x＝240	計算する
x＝120	両辺を2でわる

確かめ：120：80 は、どちらも40でわると 3：2 になります。答えは120mL です。

発展ゆりさんとみおさんが持っているシールの枚数の比は 8：5で、ゆりさんのほうが9枚多く持っています。みおさんは何枚持っていますか。

みおさんを x 枚とすると、ゆりさんは (x＋9) 枚です。

(x＋9)：x＝8：5	ゆり：みおの順
(x＋9)×5＝x×8	外側の積＝内側の積
5x＋45＝8x	かっこを外す
5x−8x＝−45	移項
−3x＝−45	まとめる
x＝15	両辺を −3 でわる

確かめ：ゆりさんは 15＋9＝24（枚）で、24：15 は、どちらも3でわると 8：5 になります。答えは15枚です。

まとめ

方程式は、x の値によって成り立ったり成り立たなかったりする等式で、成り立たせる x の値が解です。解くときは、小数・分数をなくす → かっこを外す → 移項する → まとめて ax＝b の形にする → 係数でわる、の順に行います。文章題は、x を決め、同じ数量を2通りに表して＝で結び、解が問題に合うか確かめます。あまる・たりないは「あまりは＋、たりないは−」、追いつく問題は「道のりが同じ」、年齢は「どの人も x 歳ふえる」、割合は「もとにする量にかける」が目印です。比例式は外側の積＝内側の積で解きます。プリントの確認問題で、移項と文章題の式づくりを手を動かして練習してみてください。